2^2(x-1)-3*2^(x-1)+1<0 В ответе укажите середину интервала решений.

Давайте решим неравенство:
\[ 2^{2(x-1)} - 3 \cdot 2^{x-1} + 1 < 0 \]

Шаг 1: Упростим выражение

Обратим внимание, что \( 2^{2(x-1)} \) можно переписать, используя свойство степеней:
\[ 2^{2(x-1)} = \left(2^{x-1}\right)^2 \]

Обозначим за
\[ t = 2^{x-1} \]

Тогда неравенство принимает вид:
\[ t^2 - 3t + 1 < 0 \]

Шаг 2: Решение квадратного неравенства

Квадратное неравенство:
\[ t^2 - 3t + 1 < 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения:
\[ t^2 - 3t + 1 = 0 \]

Используем формулу квадратного уравнения:
\[ t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Обозначим:
\[ t_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \]
\[ t_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \]

Поскольку коэффициент при \( t^2 \) положителен, ветви параболы открыты вверх, и неравенство \( t^2 - 3t + 1 < 0 \) выполнено на интервале:
\[ t \in (t_1, t_2) \]

Шаг 3: Вернёмся к переменной \( x \)

Помним, что \( t = 2^{x-1} \), и \( 2^{x-1} > 0 \) для всех \( x \).

Переводим неравенство:
\[ t \in (t_1, t_2) \Rightarrow 2^{x-1} \in \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \]

Шаг 4: Решаем неравенства по \( x \)

Применим логарифм с основанием 2:
\[ x - 1 \in \left( \log_2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right), \ \log_2 \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \right) \]

Тогда:

\[ x \in \left( 1 + \log_2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right), \quad 1 + \log_2 \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \right) \]

Итог: середина интервала

Чтобы найти середину интервала, сложим границы и разделим на 2:

\[ \text{Середина} = \frac{\left[ 1 + \log_2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) + 1 + \log_2 \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \right]}{2} = 1 + \frac{1}{2} \left( \log_2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) + \log_2 \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \right) \]

по свойствам логарифмов:

\[ \text{Середина} = 1 + \frac{1}{2} \log_2 \left( \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) \cdot \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \right) \]

Рассчитаем произведение внутри логарифма:
\[ \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) \cdot \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) = \frac{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{4} \]

Используем разность квадратов:
\[ (3)^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4 \]

Тогда:
\[ \frac{4}{4} = 1 \]

И получается:
\[ \text{Середина} = 1 + \frac{1}{2} \log_2(1) = 1 + \frac{1}{2} \times 0 = 1 \]

Итог:

Средина интервала решений равна \(\boxed{1}\).