2^2(x-1)-3*2^(x-1)+1<0 В ответе укажите середину интервала решений.

Давайте решим неравенство: \[ 2^{2(x-1)} - 3 \cdot 2^{x-1} + 1 < 0 \] ### Шаг 1: Упростим выражение Обратим внимание, что \( 2^{2(x-1)} \) можно переписать, используя свойство степеней: \[ 2^{2(x-1)} = \left(2^{x-1}\right)^2 \] Обозначим за \[ t = 2^{x-1} \] Тогда неравенство принимает вид: \[ t^2 - 3t + 1 < 0 \] --- ### Шаг 2: Решение квадратного неравенства Квадратное неравенство: \[ t^2 - 3t + 1 < 0 \] Найдем корни квадратного уравнения: \[ t^2 - 3t + 1 = 0 \] Используем формулу квадратного уравнения: \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \] Обозначим: \[ t_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \] \[ t_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \] Поскольку коэффициент при \( t^2 \) положителен, ветви параболы открыты вверх, и неравенство \( t^2 - 3t + 1 < 0 \) выполнено на интервале: \[ t \in (t_1, t_2) \] --- ### Шаг 3: Вернёмся к переменной \( x \) Помним, что \( t = 2^{x-1} \), и \( 2^{x-1} > 0 \) для всех \( x \). Переводим неравенство: \[ t \in (t_1, t_2) \Rightarrow 2^{x-1} \in \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \] --- ### Шаг 4: Решаем неравенства по \( x \) Применим логарифм с основанием 2: \[ x - 1 \in \left( \log_2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right), \ \log_2 \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \right) \] Тогда: \[ x \in \left( 1 + \log_2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right), \quad 1 + \log_2 \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \right) \] --- ### Итог: середина интервала Чтобы найти середину интервала, сложим границы и разделим на 2: \[ \text{Середина} = \frac{\left[ 1 + \log_2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) + 1 + \log_2 \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \right]}{2} = 1 + \frac{1}{2} \left( \log_2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) + \log_2 \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \right) \] по свойствам логарифмов: \[ \text{Середина} = 1 + \frac{1}{2} \log_2 \left( \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) \cdot \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) \right) \] Рассчитаем произведение внутри логарифма: \[ \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) \cdot \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right) = \frac{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{4} \] Используем разность квадратов: \[ (3)^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4 \] Тогда: \[ \frac{4}{4} = 1 \] И получается: \[ \text{Середина} = 1 + \frac{1}{2} \log_2(1) = 1 + \frac{1}{2} \times 0 = 1 \] --- ## Итог: **Средина интервала решений равна \(\boxed{1}\).**