Давайте разберемся шаг за шагом, как найти скорость изменения производительности через два часа работы, если объем продукции Y в течение дня задан функцией:
[ Y(t) = -2t^3 + 10t^2 + 50t - 16 ]
где t — время в часах.
Шаг 1. Что такое скорость изменения?
Скорость изменения объема продукции в данный момент времени — это производная функции ( Y(t) ). Она показывает, насколько быстро меняется объем продукции в зависимости от времени.
Итак, нам нужно найти производную функции ( Y(t) ).
Шаг 2. Найти производную функции ( Y(t) )
Для функции
[ Y(t) = -2t^3 + 10t^2 + 50t - 16 ]
применяем правила дифференцирования:
- Производная ( t^n ) есть ( n t^{n-1} ),
- Константы при дифференцировании остаются без изменений, за исключением того, что их умножают на производную ( t ).
Итак:
[
Y'(t) = \frac{d}{dt}(-2t^3) + \frac{d}{dt}(10t^2) + \frac{d}{dt}(50t) - \frac{d}{dt}(16)
]
вычислим по частям:
- ( \frac{d}{dt}(-2t^3) = -2 \times 3t^{2} = -6t^{2} )
- ( \frac{d}{dt}(10t^{2}) = 10 \times 2t = 20t )
- ( \frac{d}{dt}(50t) = 50 )
- ( \frac{d}{dt}(16) = 0 )
Итоговая формула:
[
Y'(t) = -6t^{2} + 20t + 50
]
Шаг 3. Подставить ( t = 2 ) часа
Теперь, чтобы найти скорость изменения через 2 часа, подставим ( t=2 ):
[
Y'(2) = -6 \times (2)^2 + 20 \times 2 + 50
]
Выполним вычисления:
- ( (2)^2 = 4 ),
- ( -6 \times 4 = -24 ),
- ( 20 \times 2 = 40 ).
Значит:
[
Y'(2) = -24 + 40 + 50 = ( -24 + 40 ) + 50 = 16 + 50 = 66
]
Ответ:
Скорость изменения производительности через два часа работы составляет 66 единиц продукции в час.
