объём продукции у в течение рабочего дня представлен функцией Y = -2t^3+10t^2+50t-16 (ч) тогда скорость изменения производительности через два часа работы составит?
Давайте разберемся шаг за шагом, как найти скорость изменения производительности через два часа работы, если объем продукции Y в течение дня задан функцией:
\[ Y(t) = -2t^3 + 10t^2 + 50t - 16 \]
где t — время в часах.
Шаг 1. Что такое скорость изменения?
Скорость изменения объема продукции в данный момент времени — это производная функции \( Y(t) \). Она показывает, насколько быстро меняется объем продукции в зависимости от времени.
Итак, нам нужно найти производную функции \( Y(t) \).
Шаг 2. Найти производную функции \( Y(t) \)
Для функции
\[ Y(t) = -2t^3 + 10t^2 + 50t - 16 \]
применяем правила дифференцирования:
- Производная \( t^n \) есть \( n t^{n-1} \),
- Константы при дифференцировании остаются без изменений, за исключением того, что их умножают на производную \( t \).
Итак:
\[ Y'(t) = \frac{d}{dt}(-2t^3) + \frac{d}{dt}(10t^2) + \frac{d}{dt}(50t) - \frac{d}{dt}(16) \]
вычислим по частям:
- \( \frac{d}{dt}(-2t^3) = -2 \times 3t^{2} = -6t^{2} \)
- \( \frac{d}{dt}(10t^{2}) = 10 \times 2t = 20t \)
- \( \frac{d}{dt}(50t) = 50 \)
- \( \frac{d}{dt}(16) = 0 \)
Итоговая формула:
\[ Y'(t) = -6t^{2} + 20t + 50 \]
Шаг 3. Подставить \( t = 2 \) часа
Теперь, чтобы найти скорость изменения через 2 часа, подставим \( t=2 \):
\[ Y'(2) = -6 \times (2)^2 + 20 \times 2 + 50 \]
Выполним вычисления:
- \( (2)^2 = 4 \),
- \( -6 \times 4 = -24 \),
- \( 20 \times 2 = 40 \).
Значит:
\[ Y'(2) = -24 + 40 + 50 = ( -24 + 40 ) + 50 = 16 + 50 = 66 \]
Ответ:
Скорость изменения производительности через два часа работы составляет 66 единиц продукции в час.
