Давайте подробно решим задачу по шагам.
Условия задачи:
- Цена (Р) = 18
- Общие издержки фирмы (ТС) = 2Q² – 6Q + 100
Нам нужно найти оптимальный объем производства Q в краткосрочном периоде.
Шаг 1: Определение функции дохода
В условиях совершенной конкуренции цена фиксирована и равна 18, а доходы для фирмы при продаже Q единиц продукции равны:
[ \text{Выручка} (TR) = P \times Q = 18Q ]
Шаг 2: Построение функции издержек
Общие издержки (ТС) уже заданы:
[ TC = 2Q^2 - 6Q + 100 ]
Шаг 3: Вычисление функции прибыли
Прибыль ((\pi)) равна разнице между выручкой и издержками:
[
\pi = TR - TC = 18Q - (2Q^2 - 6Q + 100)
]
Раскроем скобки:
[
\pi = 18Q - 2Q^2 + 6Q - 100
]
Объединим подобные члены:
[
\pi = (18Q + 6Q) - 2Q^2 - 100 = 24Q - 2Q^2 - 100
]
Шаг 4: Максимизация прибыли
Чтобы найти оптимальный объем Q, нужно взять производную функции прибыли по Q и приравнять к нулю:
[
\frac{d\pi}{dQ} = 24 - 4Q = 0
]
Решим это уравнение:
[
4Q = 24
]
[
Q = \frac{24}{4} = 6
]
Ответ:
Объем производства фирмы, при котором достигается максимальная краткосрочная прибыль, равен Q = 6.
Если нужно дополнительно проверить условия максимума, можно взять вторую производную:
[
\frac{d^2 \pi}{dQ^2} = -4 < 0
]
Поскольку вторая производная отрицательна, это — максимум функции прибыли.
Итог:
Оптимальный объем производства фирмы в краткосрочном периоде — 6 единиц продукции.
