A=9 - x² da y = x + 79 - x² = x + 7 Entonces x = 1 y x = -2 V = π112 (9-x2) ² - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x² + 81) - (x² + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32) dx19 V =…

Конечно! Похоже, у вас есть задание по вычислению объема тела с помощью метода интеграции. В задании приведены уравнения и выражения, связанные с функциями и расчетом объема через интегралы с использованием кругов (формула объема для вращения вокруг оси).

Давайте аккуратно разберем задачу по шагам:

---

1. Анализ исходных данных

Исходные уравнения, которые присутствуют в задаче:

• \( y = x + 79 - x^2 \)
• \( y = x + 7 \)

Также даны корни уравнений:

• \( x = 1 \)
• \( x = -2 \)

И выражения для объема \( V \), предполагающие интегрирование:

• \( V = \pi \int_{a}^{b} [(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2] \, dx \)
• \( V = \frac{\pi}{12} \int_{a}^{b} (x^4 - 18x^2 + 81 - x^2 - 14x - 49) \, dx \)

и еще похожие.

---

2. Постановка задачи

Задача, судя по всему, — найти объем тела, образованного вращением кривых вокруг оси (скорее всего, вокруг оси Ox), при заданных пределах интегрирования.

3. Что означают выражения

• Используемая формула объема через диски/торы:
  \[ V = \pi \int_{a}^{b} [R_{\text{наружный}}^2 - R_{\text{внутренний}}^2] \, dx \]

  Где \( R_{\text{наружный}} \) и \( R_{\text{внутренний}} \) — радиусы окружностей, образуемых вращением.

• В первом выражении \(\, (9 - x^2)^2 \) и \( (x + 7)^2 \) — квадраты радиусов.

---

4. Вариант решения конкретной задачи

Рассмотрим первый пример:

\[ V = \pi \int_{x_1}^{x_2} [(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2] \, dx \]

Область интегрирования — от \( x = -2 \) до \( x=1 \).

---

5. Раскладка и вычисление

Шаг 1: Раскроем скобки под интегралом:

\[ (9 - x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4 \]

\[ (x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49 \]

Шаг 2: Запишем интеграл:

\[ V = \pi \int_{-2}^{1} [81 - 18x^2 + x^4 - (x^2 + 14x + 49)] \, dx \]

\[ V = \pi \int_{-2}^{1} [81 - 18x^2 + x^4 - x^2 - 14x - 49] \, dx \]

Шаг 3: упростим внутри скобок:

\[ 81 - 49 = 32 \]

\[ -18x^2 - x^2 = -19x^2 \]

Итого:

\[ V = \pi \int_{-2}^{1} (x^4 - 19x^2 - 14x + 32) \, dx \]

Шаг 4: проинтегрируем каждое слагаемое:

• \(\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}\)
• \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}\)
• \(\int x dx = \frac{x^2}{2}\)
• \(\int dx = x\)

Шаг 5: запишем итоговую формулу:

\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 19 \frac{x^3}{3} - 14 \frac{x^2}{2} + 32x \right]_{-2}^{1} \]

---

6. Подставим пределы интегрирования

Для \( x=1 \):

\[ \frac{1^5}{5} - 19 \frac{1^3}{3} - 14 \frac{1^2}{2} + 32 \times 1 = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32 \]

Для \( x=-2 \):

\[ \frac{(-2)^5}{5} - 19 \frac{(-2)^3}{3} - 14 \frac{(-2)^2}{2} + 32 \times (-2) \]

Вычислим отдельно.

---

7. Числовое решение

Для \( x=1 \):

\[ \frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32 \]

• \(\frac{1}{5} \approx 0.2\)
• \(\frac{19}{3} \approx 6.333\)

Итого:

\[ 0.2 - 6.333 - 7 + 32 = (0.2 - 6.333) - 7 + 32 = -6.133 - 7 + 32 = -13.133 + 32 = 18.867 \]

Для \( x=-2 \):

\[ \frac{(-2)^5}{5} = \frac{-32}{5} = -6.4 \]

\[ 19 \frac{(-2)^3}{3} = 19 \times \frac{-8}{3} = - \frac{152}{3} \approx -50.667 \]

\[ 14 \times \frac{(-2)^2}{2} = 14 \times \frac{4}{2} = 14 \times 2 = 28 \]

\[ 32 \times (-2) = -64 \]

Теперь:

\[ -6.4 - (-50.667) - 28 - 64 = -6.4 + 50.667 - 28 - 64 \]

\[ (-6.4 + 50.667) = 44.267 \]

\[ 44.267 - 28 = 16.267 \]

\[ 16.267 - 64 = -47.733 \]

---

8. Итоговый объем

\[ V = \pi \times (18.867 - (-47.733)) = \pi \times (18.867 + 47.733) = \pi \times 66.6 \]

Ответ:

\[ V \approx 66.6 \pi \]

или в численном виде:

\[ V \approx 66.6 \times 3.1416 \approx 209.2 \]

---

Итог:

Объем тела равен примерно 209.2 единиц при вращении заданной кривой вокруг оси.

---

Если хотите, я могу помочь вам с проверкой других выражений или более подробно разобрать любую часть!