Давайте решим задачу пошагово.
Шаг 1. Запись исходной прямой
Дана прямая:
[45x + 15y + 5 = 0]
Шаг 2. Найти коэффициенты и упростить уравнение прямой
Разделим всё уравнение на 15:
[
\frac{45x}{15} + \frac{15y}{15} + \frac{5}{15} = 0 \
3x + y + \frac{1}{3} = 0
]
Или в виде:
[ y = -3x - \frac{1}{3} ]
Шаг 3. Найти координаты наклонной прямой
Нам нужно найти уравнение прямой, которая проходит через точку (M_0(15,15)) и перпендикулярна исходной.
Шаг 4. Определим наклон исходной прямой
Коэффициент при (x) — это наклон: (m_{1} = -3).
Шаг 5. Найти наклон перпендикулярной прямой
Перпендикулярная прямая имеет наклон, обратный и противоположный по знаку:
[ m_{2} = \frac{1}{3} ]
Шаг 6. Записать уравнение искомой перпендикулярной прямой, проходящей через (M_0(15,15))
Общая форма:
[ y - y_0 = m_{2}(x - x_0) ]
Подставим:
[ y - 15 = \frac{1}{3}(x - 15) ]
Раскроем скобки:
[ y - 15 = \frac{1}{3}x - 5 ]
Добавим 15 к обеим сторонам:
[ y = \frac{1}{3}x - 5 + 15 ]
[ y = \frac{1}{3}x + 10 ]
Итак, уравнение искомой перпендикулярной прямой:
[
\boxed{ y = \frac{1}{3}x + 10 }
]
Подсчёт длины отрезка от этой прямой до оси (OX)
Теперь нужно найти — длина отрезка, который эта прямая отсекает на оси (OX).
Т.е. найти точку пересечения искомой прямой с осью (OX), где (y=0).
Шаг 7. Найдём точку пересечения с (OX), когда (y=0):
[
0 = \frac{1}{3}x + 10
]
Решим относительно (x):
[
\frac{1}{3}x = -10 \
x = -10 \times 3 = -30
]
Точка пересечения: ((-30, 0))
Шаг 8. Определим длину отрезка от начала координат (O(0,0)) до этой точки:
Расстояние между (O(0,0)) и ((-30,0)):
[
\sqrt{(-30 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{900} = 30
]
Итог:
Длина отрезка, отмечаемого найденной прямой от оси (OX), равна (\boxed{30}).
