Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Две точки на плоскости: M0(0,8,-6), M1(-9,8,-5)
- Вектор, параллельный плоскости: e={1,1,-8}
Нам нужно найти уравнение плоскости, проходящей через точки M0 и M1, и параллельной вектору e.
Шаг 1: Найти вектор, лежащий в плоскости
Так как плоскость параллельна вектору e, то любой вектор в плоскости, в частности, вектор, соединяющий M0 и M1:
[
\vec{M_0 M_1} = M_1 - M_0 = (-9 - 0, 8 - 8, -5 - (-6)) = (-9, 0, 1)
]
Шаг 2: Найти нормальный вектор плоскости
Плоскость содержит вектора (\vec{M_0 M_1}) и вектор e, оба лежат в плоскости. Их векторное произведение даст нормальный вектор к плоскости:
[
\vec{n} = \vec{M_0 M_1} \times \vec{e}
]
Подставим значения:
[
\vec{M_0 M_1} = (-9, 0, 1)
]
[
\vec{e} = (1, 1, -8)
]
Вычислим крестовое произведение:
[
\vec{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-9 & 0 & 1 \
1 & 1 & -8 \
\end{vmatrix}
]
Рассчитаем по формуле:
[
\vec{n} = \mathbf{i}(0 \times (-8) - 1 \times 1) - \mathbf{j}(-9 \times (-8) - 1 \times 1) + \mathbf{k}(-9 \times 1 - 0 \times 1)
]
Вычислим каждую компоненту:
(i)-компонента:
[
0 \times (-8) - 1 \times 1 = 0 - 1 = -1
]
(j)-компонента:
[
-(-9 \times -8 - 1 \times 1) = - (72 - 1) = -71
]
(k)-компонента:
[
-9 \times 1 - 0 \times 1 = -9 - 0 = -9
]
Запишем полученный нормальный вектор:
[
\vec{n} = (-1, -71, -9)
]
Шаг 3: Записать уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости с нормальным вектором (\vec{n} = (A, B, C)) и точкой (M_0(x_0, y_0, z_0)):
[
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
]
Подставим координаты точки (M_0(0,8,-6)):
[
-1(x - 0) - 71(y - 8) - 9(z + 6) = 0
]
Раскроем скобки:
[
- x - 71 y + 71 \times 8 - 9 z - 9 \times 6 = 0
]
Вычислим константы:
[
71 \times 8 = 568
]
[
9 \times 6 = 54
]
Запишем итоговое уравнение:
[
- x - 71 y - 9 z + 568 - 54 = 0
]
или:
[
- x - 71 y - 9 z + 514 = 0
]
Перепишем в виде (x + By + Cz + D = 0), умножив всё на -1:
[
x + 71 y + 9 z - 514 = 0
]
Шаг 4: Ответ
По условию нужно записать значения (B; C; D):
[
B = 71, \quad C = 9, \quad D = -514
]
Итог:
Ответ: 71;9;-514
