Дядюшка Тыква строит домик из кирпичей. В будний день он добавляет к постройке один кирпич, в субботу — 2 кирпича, в воскресенье — сразу 5 кирпичей. В День строителя (13 августа), после того как он присоединил к домику очередную порцию кирпичей, Тыква обнаружил, что за год добавил к постройке 629 кирпичей. На какой день недели пришелся День строителя?

Давайте подробно решим задачу поэтапно, чтобы понять, как определить день недели, в который приходится День строителя (13 августа). **Дано:** - В будний день (понедельник-пятница): добавляется 1 кирпич. - В субботу: добавляется 2 кирпича. - В воскресенье: добавляется 5 кирпичей. - За год (365 дней) всего добавлено 629 кирпичей. - Нужно определить день недели 13 августа — День строителя. --- ### Шаг 1: Определим, как распределяются кирпичи по неделям Неделю можно представить как 7 дней, и каждый день имеет свою сумму кирпичей: - Понедельник (П) — 1 - Вторник (В) — 1 - Среда (С) — 1 - Четверг (Ч) — 1 - Пятница (Пт) — 1 - Суббота (Сб) — 2 - Воскресенье (Вс) — 5 Общая сумма кирпичей за одну полную неделю: $$ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 5 = 12 $$ ### Шаг 2: Определим, сколько полных недель в году и остаточные дни - За 365 дней в году: Количество полных недель: $$ \lfloor \frac{365}{7} \rfloor = 52 \text{ недели} \qquad( 52 \times 7 = 364 \text{ дней}) $$ Остаточный день (день, который не входит в полную неделю): $$ 365 - 364 = 1 \text{ день} $$ Общий кирпич за 52 полные недели: $$ 52 \times 12 = 624 $$ Итак, за 52 полных недели кирпичей уже накоплено 624. ### Шаг 3: Определим дополнительно добавленные кирпичи За 365 дней: $$ 629 - 624 = 5 $$ То есть, в оставшийся один день (после 52 недель) добавлено 5 кирпичей. ### Шаг 4: Определим, какой день недели был в последний день года Если мы предположим, что первый день — понедельник: - Тогда, после 52 полных недель (364 дня), день недели совпадает с первым днём недели — понедельником. - Следовательно, 365-й день — это следующий день недели: Порядок дней: | День недели | День в году | Кирпичи | |--|--|--| | понедельник | 1, 8, 15, ..., 364 | 1 кирпич каждый (в течение недели) | | вторник | 2, 9, 16, ... | 1 кирпич | | среда | 3, 10, 17, ... | 1 кирпич | | четверг | 4, 11, 18, ... | 1 кирпич | | пятница | 5, 12, 19, ... | 1 кирпич | | суббота | 6, 13, 20, ... | 2 кирпича | | воскресенье | 7, 14, 21, ... | 5 кирпичей | Поскольку 364-й день — это пятница (согласно этому порядку), то 365-й день — **суббота**. Тогда последний день этого года — суббота, и за один этот день добавляется 2 кирпича (если 13 августа — это этот день). Но посчитаем, что добавлено 5 кирпичей за один оставшийся день. Это противоречит тому, что 13 августа — это именно тот день, когда добавляется 5 кирпичей, так как 5 кирпичей добавляется только воскресеньем. Следовательно, предположим, что в первый день года — воскресенье. Тогда: - 1-й день — воскресенье - 2-й — понедельник - 3-й — вторник... - 7-й — суббота - 8-й — воскресенье - и так далее. Поскольку 365-й день — это: $$ 365 \bmod 7 = 1 $$ тогда, если 1-й день года — воскресенье, то: - 1-й — воскресенье - 2-й — понедельник - 3-й — вторник - 4-й — среда - 5-й — четверг - 6-й — пятница - 7-й — суббота и повторяется. Значит, 365-й день — это: $$ (1 + 364) \bmod 7 = (1 + 0) \bmod 7 = 1, $$ где 1 соответствует воскресенью. То есть, если год начинаю с воскресенья, то последний день — воскресенье. Проверка суммы кирпичей: - За 52 недели: 52 * 12 = 624 кирпича - В 365-й день — воскресенье — добавляется 5 кирпичей (по правилу в воскресенье). Общее количество кирпичей: $$ 624 + 5 = 629, $$ что соответствует заданным в условии. **Вывод:** В последний день года — воскресенье. ### Шаг 5: Выясним, на какой день приходится 13 августа Теперь, так как 31 декабря — воскресенье, а в условии дата 13 августа — это День строителя. Сегодня, чтобы определить день недели 13 августа, нужно понять, сколько дней между ними. Рассчитаем дату: - В году 365 дней. - 13 августа — это день, который нужно определить. Рассмотрим, сколько осталось дней до 13 августа от начала года, или наоборот, сколько дней прошло с начала года до 13 августа. ## Дата 1 января — воскресенье. Теперь определим, сколько дней после 1 января — воскресенья — проходит до 13 августа. Расчёт: | Месяц | Количество дней | Кандидат на вычисление дня недели | |---------|-----------------|---------------------------------| | Январь | 31 | 1 марта — воскресенье, потому что 1 января — воскресенье, +30 дней = 30 дней. (30 mod 7 = 2). День недели 1 января — воскресенье (1). +30 дней: (1 + 30) mod 7 = (1 + 2) = 3 (например, вторник). Логика: проще сделать так: Порядок дней: воскресенье (0), понедельник (1), ..., суббота (6). Воскресенье — 0 30 дней позже — (0 + 30) mod 7 = 2 → вторник. Значит, 31 января — вторник. Используем этот подход. Подобные вычисления повторим для всех месяцев, чтобы узнать, какого дня недели 13 августа. Поскольку такой подход сложен, лучше выбрать более короткий путь — узнать, какой день недели пришёлся на 1 января, чтобы далее определить 13 августа. --- ### Итоговая рекомендация: - В году, начинающемся с воскресенья, 1 января — воскресенье. - 13 августа — это 225-й день (посчитаем по месяцам): График количества дней в месяцах: | Месяц | Дни | Кумулятивное количество дней | |---------|--------|-----------------------------| | Январь | 31 | 31 | | Февраль | 28 | 59 | | Март | 31 | 90 | | Апрель | 30 | 120 | | Май | 31 | 151 | | Июнь | 30 | 181 | | Июль | 31 | 212 | | Август | 13 | 225 | Поскольку 1 января — воскресенье (0), - 225-й день — это (225 - 1) день после 1 января, то есть, отсчёт с нуля — 224. День недели для 13 августа: $$ \text{День недели} = (\text{День в году} + \text{день смещения}) \bmod 7 $$ где: - День в году — 225, - смещение — 1, так как 1 января — воскресенье (0). Значит, $$ (224 + 0) \bmod 7 = 224 \bmod 7 $$ 224 делится на 7 без остатка (так как 7*32=224), значит: $$ 224 \bmod 7 = 0 $$ Это означает, что 13 августа — воскресенье. --- ### **Ответ:** **День строителя (13 августа) — это воскресенье.** --- Если хотите, я могу помочь и с более подробным объяснением или с проверкой других предположений!