СКОЛЬКО ЧИСЕЛ С 45 ДО 1539 СОДЕРЖАТ В СЕБЕ ПЯТЕРКУ
Давайте разберём задачу подробно.
Задача: Сколько чисел от 45 до 1539 содержат в себе пятёрку?
Понимание задачи
Нужно выяснить, сколько чисел в диапазоне от 45 до 1539 включительно имеют хотя бы одну цифру «5».
Шаг 1. Определить диапазон и условия
- Минимум: 45
- Максимум: 1539
- Нужно посчитать числа в этом диапазоне, где есть хотя бы одна цифра «5».
Шаг 2. Идея решения
Лучший способ: посчитать все числа, не содержащие «5», а затем вычесть их количество из общего числа.
Шаг 3. Посчитать общее количество чисел в диапазоне
Общее число:
\[ 1539 - 45 + 1 = 1495 \]
Шаг 4. Посчитать числа без «5»
Теперь подсчитаем, сколько чисел не содержат цифры «5» в диапазоне от 45 до 1539.
Разделим задачу на две части:
- числа от 45 до 999 (так как это трехзначные и двухзначные числа),
- числа от 1000 до 1539.
Шаг 5. Числа от 45 до 999 (двух- и трёхзначные)
а) Двухзначные числа: от 45 до 99
- Первая цифра: 4, 5, 6, 7, 8, 9 — но вытягиваем только те без «5»: 4, 6, 7, 8, 9 → 5 вариантов.
- Вторая цифра: любые, кроме «5»: 0-9, исключая 5 → 9 вариантов.
Но надо учесть, что число 45 содержит 5, поэтому пропустим его.
Для чисел от 45 до 99:
45 — содержит 5, пропускаем.
46, 47, 48, 49 — содержат «4» и другую цифру, не «5» → подходит, всего 4 числа.
Далее все, что начинается с 4 и без «5», это 46, 47, 48.
Для чисел, начинающихся с 6 — 69, 66, 67, 68, 69 — все без «5» → 5 чисел.
Аналогично для 7х, 8х, 9х:
- 70-79 без 75: 70, 76, 77, 78, 79 — 5 чисел.
- 80-89 без 85: 80, 86, 87, 88, 89 — 5 чисел.
- 90-99 без 95: 90, 96, 97, 98, 99 — 5 чисел.
Общее число без «5» среди двухзначных чисел от 45 до 99:
(учитываем только числа без «5» и входящие в диапазон от 45):
- 46, 47, 48, 49 — 4 числа,
- остальные по шаблону — сумма: 5 (для 6х), 5 (7х), 5 (8х), 5 (9х).
Но считаем только те, что ≥ 45:
- Для 4x: 46-49 — 4 числа.
- Для 6x: 60-69 — без 65: 60, 66, 67, 68, 69 — 5 чисел.
- Для 7x: 70-79 — без 75: 70, 76, 77, 78, 79 — 5 чисел.
- Для 8x: 80-89 — без 85: 80, 86, 87, 88, 89 — 5 чисел.
- Для 9x: 90-99 — без 95: 90, 96, 97, 98, 99 — 5 чисел.
Всего двухзначных без «5»:
\[ 4 + 5 + 5 + 5 + 5 = 24 \]
б) Трёхзначные числа от 100 до 999
Здесь сложнее, так как есть сотни и учитываем, что диапазон от 100 до 999.
Подсчёт чисел без «5»:
- Первый разряд (стоты): 1-9, исключая 5 → 8 вариантов (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9)
- Второй разряд (десятки): 0-9, исключая 5 → 9 вариантов.
- Третий разряд (единицы): 0-9, исключая 5 → 9 вариантов.
Общее число:
\[ 8 \times 9 \times 9 = 648 \]
Но нужно вычленить только те числа, которые ≥ 100, что уже покрыто в диапазоне.
Поскольку всё это трехзначные числа, всё включено в диапазон от 100 до 999.
в) Числа от 1000 до 1539
Аналогично подсчитаем числа без «5» в этом диапазоне.
Числа от 1000 до 1539:
- Четырехзначные числа с первой цифрой 1 или 1ххх, начиная с 1000.
рассмотрим отдельно:
1000–1499:
- первая цифра: 1 — подходит.
- остальные три цифры: 000–499
Но нам нужно соблюсти диапазон 1000–1539.
Рассмотрим это по 1000-1499 и 1500-1539.
г) Числа от 1000 до 1499 без «5»
- Первая цифра: 1
- остальные три цифры: 000-499
подсчет без «5»:
- Каждая из трех цифр (тысячная, сотая, десятичная, единичная) должна быть из допустимых без «5»:
Для сотых, десятичных, единичных цифр — по 9 вариантов (0-9 без 5).
Для тысячной — 1.
Общее число:
\[ 1 \times 8 \times 9 \times 9 = 648 \],
где 8 — не включает 5 (первый разряд фиксирован — 1).
д) Числа от 1500 до 1539 без «5»
- Первая цифра: 1
- Вторая цифра: 5 — исключается, так как содержит 5, а нужно без «5».
Следовательно, числа, начинающиеся с 15xx, где xx не содержат «5», только числа с xx ≠ 5.
Диапазон: 1500–1539
- в 1500–1599 — исключая все с 5 в xx. Но диапазон 1500–1539, поэтому:
успевший исключить все xx, содержащие 5: 1500–1599, исключая 15x5.
Но диапазон 1500–1539:
- 1500–1549, исключая 15x5: здесь только 1505 — содержит 5; пропустить.
- остальные числа: 1500–1549 без 5: 1500–1549, исключая 1505, 1515, 1525, 1535.
В диапазоне 1500–1539:
- Числа с xx = 00–39, исключая 15x5.
Итак, в этом диапазоне:
- 1500–1504 — содержат только 1505, пропускаем.
- 1506–1509 — допустимы.
- 1510–1514 — допустимы.
- 1516–1519 — допустимы.
- 1520–1524 — допустимы, кроме 1525.
- 1526–1529 — допустимы.
- 1530–1534 — допустимы.
- 1536–1539 — допустимы.
Общее количество:
(числа с xx из диапазона 00–39, без 15x5):
- 1500–1549: исключаем 1505 и все с 15x5 — то есть только число 1505 — исключаем.
Посчитаем без «5»:
- Можно выбрать xx из 00-39, исключая 15x5, то есть исключая xx, где xx = 00, 05, 15, 25, 35, 45, 55, 25, 35, 45 — только 15x5.
Но так как 15x5 — это числа с xx = 00-39, где xx — 00-39, исключая случаи xx = 15, а в конце 5.
Очевидно:
- Для xx: 00-39, есть 40 вариантов.
Из них исключаем xx, если xx=15, либо xx=тип 5, если xx=xx=xx.
Для точности — проще посчитать количество чисел без 5.
Вариант подсчёта:
- в диапазоне 1500–1539:
Стоимость без «5»:
Начинается с 15
xx — 00–39, исключая 15 (так как содержит 5, если xx=15), и все xx, где есть 5.
Поэтому:
- xx: 00–39, исключая 15, 25, 35, 45 (все содержащие 5).
Количество вариантов:
- xx: всего 40 (00–39),
- исключая xx: 15, 25, 35, 45 — 4 варианта.
Итого: 36 вариантов осталось.
Но нужно убедиться, что эти числа (1500–1539) без пяти:
- для xx в оставшихся 36 вариациях, все номера допустимы.
Итог:
Общее количество чисел без «5»:
- От 45 до 99: 24
- От 100 до 999: 648
- От 1000 до 1499: 648
- От 1500 до 1539: 36
Общее:
\[ 24 + 648 + 648 + 36 = 1356 \]
Шаг 6. Итоговое число с «5»
Всего чисел в диапазоне:
\[ 1495 \]
Чисел без «5»:
\[ 1356 \]
Значит, чисел, содержащих «5»:
\[ 1495 - 1356 = 139 \]
Ответ:
В диапазоне от 45 до 1539 содержится 139 чисел, которые содержат в себе пятёрку.
