СКОЛЬКО ЧИСЕЛ С 45 ДО 1539 СОДЕРЖАТ В СЕБЕ ПЯТЕРКУ

Давайте разберём задачу подробно. **Задача:** Сколько чисел от 45 до 1539 содержат в себе пятёрку? --- ### Понимание задачи Нужно выяснить, сколько чисел в диапазоне от 45 до 1539 включительно имеют хотя бы одну цифру «5». --- ### Шаг 1. Определить диапазон и условия - Минимум: 45 - Максимум: 1539 - Нужно посчитать числа в этом диапазоне, где есть хотя бы одна цифра «5». --- ### Шаг 2. Идея решения **Лучший способ:** посчитать все числа, не содержащие «5», а затем вычесть их количество из общего числа. --- ### Шаг 3. Посчитать общее количество чисел в диапазоне Общее число: \[ 1539 - 45 + 1 = 1495 \] --- ### Шаг 4. Посчитать числа без «5» Теперь подсчитаем, сколько чисел *не содержат* цифры «5» в диапазоне от 45 до 1539. Разделим задачу на две части: 1. числа от 45 до 999 (так как это трехзначные и двухзначные числа), 2. числа от 1000 до 1539. --- ### Шаг 5. Числа от 45 до 999 (двух- и трёхзначные) **а) Двухзначные числа: от 45 до 99** - Первая цифра: 4, 5, 6, 7, 8, 9 — но вытягиваем только те без «5»: 4, 6, 7, 8, 9 → 5 вариантов. - Вторая цифра: любые, кроме «5»: 0-9, исключая 5 → 9 вариантов. Но надо учесть, что число 45 содержит 5, поэтому пропустим его. Для чисел от 45 до 99: - 45 — содержит 5, пропускаем. - 46, 47, 48, 49 — содержат «4» и другую цифру, не «5» → подходит, всего 4 числа. - Далее все, что начинается с 4 и без «5», это 46, 47, 48. - Для чисел, начинающихся с 6 — 69, 66, 67, 68, 69 — все без «5» → 5 чисел. - Аналогично для 7х, 8х, 9х: - 70-79 без 75: 70, 76, 77, 78, 79 — 5 чисел. - 80-89 без 85: 80, 86, 87, 88, 89 — 5 чисел. - 90-99 без 95: 90, 96, 97, 98, 99 — 5 чисел. Общее число без «5» среди двухзначных чисел от 45 до 99: (учитываем только числа без «5» и входящие в диапазон от 45): - 46, 47, 48, 49 — 4 числа, - остальные по шаблону — сумма: 5 (для 6х), 5 (7х), 5 (8х), 5 (9х). Но считаем только те, что ≥ 45: - Для 4x: 46-49 — 4 числа. - Для 6x: 60-69 — без 65: 60, 66, 67, 68, 69 — 5 чисел. - Для 7x: 70-79 — без 75: 70, 76, 77, 78, 79 — 5 чисел. - Для 8x: 80-89 — без 85: 80, 86, 87, 88, 89 — 5 чисел. - Для 9x: 90-99 — без 95: 90, 96, 97, 98, 99 — 5 чисел. Всего двухзначных без «5»: \[ 4 + 5 + 5 + 5 + 5 = 24 \] --- ### б) Трёхзначные числа от 100 до 999 Здесь сложнее, так как есть сотни и учитываем, что диапазон от 100 до 999. **Подсчёт чисел без «5»:** - Первый разряд (стоты): 1-9, исключая 5 → 8 вариантов (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9) - Второй разряд (десятки): 0-9, исключая 5 → 9 вариантов. - Третий разряд (единицы): 0-9, исключая 5 → 9 вариантов. Общее число: \[ 8 \times 9 \times 9 = 648 \] Но нужно вычленить только те числа, которые ≥ 100, что уже покрыто в диапазоне. **Поскольку всё это трехзначные числа, всё включено в диапазон от 100 до 999.** --- ### в) Числа от 1000 до 1539 Аналогично подсчитаем числа без «5» в этом диапазоне. **Числа от 1000 до 1539:** - Четырехзначные числа с первой цифрой 1 или 1ххх, начиная с 1000. рассмотрим отдельно: #### 1000–1499: - первая цифра: 1 — подходит. - остальные три цифры: 000–499 Но нам нужно соблюсти диапазон 1000–1539. Рассмотрим это по 1000-1499 и 1500-1539. --- ### г) Числа от 1000 до 1499 без «5» - Первая цифра: 1 - остальные три цифры: 000-499 подсчет без «5»: - Каждая из трех цифр (тысячная, сотая, десятичная, единичная) должна быть из допустимых без «5»: Для сотых, десятичных, единичных цифр — по 9 вариантов (0-9 без 5). Для тысячной — 1. Общее число: \[ 1 \times 8 \times 9 \times 9 = 648 \], где 8 — не включает 5 (первый разряд фиксирован — 1). --- ### д) Числа от 1500 до 1539 без «5» - Первая цифра: 1 - Вторая цифра: 5 — исключается, так как содержит 5, а нужно без «5». Следовательно, числа, начинающиеся с 15xx, где xx не содержат «5», только числа с xx ≠ 5. Диапазон: 1500–1539 - в 1500–1599 — исключая все с 5 в xx. Но диапазон 1500–1539, поэтому: успевший исключить все xx, содержащие 5: 1500–1599, исключая 15x5. Но диапазон 1500–1539: - 1500–1549, исключая 15x5: здесь только 1505 — содержит 5; пропустить. - остальные числа: 1500–1549 без 5: 1500–1549, исключая 1505, 1515, 1525, 1535. В диапазоне 1500–1539: - Числа с xx = 00–39, исключая 15x5. Итак, в этом диапазоне: - 1500–1504 — содержат только 1505, пропускаем. - 1506–1509 — допустимы. - 1510–1514 — допустимы. - 1516–1519 — допустимы. - 1520–1524 — допустимы, кроме 1525. - 1526–1529 — допустимы. - 1530–1534 — допустимы. - 1536–1539 — допустимы. Общее количество: (числа с xx из диапазона 00–39, без 15x5): - 1500–1549: исключаем 1505 и все с 15x5 — то есть только число 1505 — исключаем. Посчитаем без «5»: - Можно выбрать xx из 00-39, исключая 15x5, то есть исключая xx, где xx = 00, 05, 15, 25, 35, 45, 55, 25, 35, 45 — только 15x5. Но так как 15x5 — это числа с xx = 00-39, где xx — 00-39, исключая случаи xx = 15, а в конце 5. Очевидно: - Для xx: 00-39, есть 40 вариантов. Из них исключаем xx, если xx=15, либо xx=тип 5, если xx=xx=xx. Для точности — проще посчитать количество чисел без 5. **Вариант подсчёта:** - в диапазоне 1500–1539: Стоимость без «5»: - Начинается с 15 - xx — 00–39, исключая 15 (так как содержит 5, если xx=15), и все xx, где есть 5. Поэтому: - xx: 00–39, исключая 15, 25, 35, 45 (все содержащие 5). Количество вариантов: - xx: всего 40 (00–39), - исключая xx: 15, 25, 35, 45 — 4 варианта. Итого: 36 вариантов осталось. Но нужно убедиться, что эти числа (1500–1539) без пяти: - для xx в оставшихся 36 вариациях, все номера допустимы. --- ### Итог: Общее количество чисел без «5»: - От 45 до 99: 24 - От 100 до 999: 648 - От 1000 до 1499: 648 - От 1500 до 1539: 36 **Общее:** \[ 24 + 648 + 648 + 36 = 1356 \] --- ### Шаг 6. Итоговое число с «5» Всего чисел в диапазоне: \[ 1495 \] Чисел без «5»: \[ 1356 \] Значит, чисел, содержащих «5»: \[ 1495 - 1356 = 139 \] --- ## **Ответ:** **В диапазоне от 45 до 1539 содержится **139** чисел, которые содержат в себе пятёрку.**