Давайте решим задачу пошагово, учитывая, что она относится к области термодинамики и связана с газом и изменением его объёма при нагревании.
Дано:
- Начальное давление газа — ( p_{нач} ).
- Внешнее давление — ( p_{вн} ), и оно в 3 раза больше начального:
[
p_{вн} = 3 p_{нач}
]
- Газ находится под поршнем, который не трется и может свободно двигаться.
- Теплота, сообщенная газу: ( Q = 6 U_{нач} ), где ( U_{нач} ) — начальная внутренняя энергия.
- Стенки и поршень не проводят тепло (изолированы), поэтому теплообмен идёт только с внешней средой.
- Требуется найти, во сколько раз увеличится объем газа (( V_{фин} / V_{нач} )).
Шаг 1. Анализ условий и предположения
- Поскольку внешнее давление составляет в 3 раза больше начального давления, а поршень может свободно двигаться, газ стремится достичь равновесия с внешними условиями после нагрева — то есть, конечное давление будет равно внешнему:
[
p_{кон} = p_{вн} = 3 p_{нач}
]
- Однако, при изолированности стенок и поршня (тепловом барьере), изменение внутренней энергии зависит только от количества теплоты и работы расширения/сжатия.
Шаг 2. Энергетический баланс
- Начальная внутренняя энергия газа: ( U_{нач} ).
- Условие: теплоту ( Q = 6 U_{нач} ) подают в газ.
- Согласно принципу сохранения энергии при расширении (для идеального газа):
[
Q = \Delta U + W
]
где:
- (\Delta U) — изменение внутренней энергии,
- (W) — работа, совершаемая газом.
Шаг 3. Внутренняя энергия и работа
Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры:
[
U = \frac{f}{2} n R T
]
где (f) — число степеней свободы (для одноатомного газа (f=3)), (n) — количество молей, (R) — газовая постоянная, (T) — температура.
Изменение внутренней энергии при нагревании:
[
\Delta U = U_{кон} - U_{нач}
]
Тепло, поданное в газ:
[
Q = 6 U_{нач}
]
В жестком термодинамическом процессе, когда стенки и поршень теплоизолированы, изменение внутренней энергии равно количеству поданного тепла:
[
\Delta U = Q = 6 U_{нач}
]
Это означает:
[
U_{кон} = U_{нач} + 6 U_{нач} = 7 U_{нач}
]
Шаг 4. Работы и изменения температуры
Рассмотрим расширение/сжатие:
При изолированных стенках (объем меняется), работы внешних сил и изменение внутренней энергии связаны через первый закон термодинамики.
Для идеального газа, внутренняя энергия зависит только от температуры, и при этом:
[
U \propto T
]
Следовательно, отношение начальной и конечной температур:
[
\frac{T_{кон}}{T_{нач}} = \frac{U_{кон}}{U_{нач}} = 7
]
То есть:
[
T_{кон} = 7 T_{нач}
]
Шаг 5. Связь давления и объема
Реальное давление газа в конце равно внешнему: ( p_{кон} = 3 p_{нач} ). Из уравнения идеального газа:
[
p V = n R T
]
Подставляя в конце:
[
p_{кон} V_{кон} = n R T_{кон}
]
А вначале:
[
p_{нач} V_{нач} = n R T_{нач}
]
Делим два уравнения:
[
\frac{p_{кон} V_{кон}}{p_{нач} V_{нач}} = \frac{T_{кон}}{T_{нач}}
]
Подставляем:
[
\frac{(3 p_{нач}) V_{кон}}{p_{нач} V_{нач}} = 7
]
Упрощая:
[
3 \frac{V_{кон}}{V_{нач}} = 7
]
Отсюда
[
\frac{V_{кон}}{V_{нач}} = \frac{7}{3}
]
Ответ:
Объем газа увеличится в (\boxed{\frac{7}{3}}), то есть примерно в 2,33 раза.
Если нужен более развернутый разбор или объяснение какого-либо пункта, пишите!
