Арифметическая и геометрическая прогрессии.Формула n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии.Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Конечно! Вот подробное объяснение формул для арифметической и геометрической прогрессий, включая формулы для n-го члена и суммы первых n членов. Объясню всё пошагово, чтобы было понятно. --- ## Арифметическая прогрессия (АП) **Определение:** Последовательность чисел, в которой разность между соседними членами постоянна. **Обозначения:** - Первый член прогрессии — \( a_1 \) - Постоянная разность — \( d \) - \( n \)-й член — \( a_n \) - Сумма первых \( n \) членов — \( S_n \) ### 1. Формула для \( n \)-го члена АП Чтобы найти любой член последовательности, используем следующую формулу: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \times d \] **Объяснение:** Если у нас есть первый член \( a_1 \), и каждый следующий член увеличивается на \( d \), то, чтобы добраться до \( n \)-го члена, нужно прибавить к первому члену \( (n-1) \) раз разность \( d \). --- ### 2. Формула суммы первых \( n \) членов АП Общая формула суммы: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] или через первый член и разность: \[ S_n = \frac{n}{2} \times [2a_1 + (n - 1) \times d] \] **Объяснение:** Сумма первых \( n \) членов — это среднее арифметическое первого и последнего умноженное на количество членов. --- ## Геометрическая прогрессия (ГП) **Определение:** Последовательность чисел, в которой каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на постоянное число — коэффициент прогрессии \( q \). **Обозначения:** - Первый член — \( a_1 \) - Коэффициент прогрессии — \( q \) - \( n \)-й член — \( a_n \) - Сумма первых \( n \) членов — \( S_n \) ### 1. Формула для \( n \)-го члена ГП Если известен первый член и коэффициент, то: \[ a_n = a_1 \times q^{n - 1} \] **Объяснение:** Чтобы найти любой член, нужно умножить первый член на \( q \), возведённое в степень \( (n-1) \), так как каждый раз прогрессия умножается на \( q \). --- ### 2. Формула суммы первых \( n \) членов ГП Для \( q \neq 1 \): \[ S_n = a_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1} \] **Объяснение:** Это сумма геометрической прогрессии, которая получается по формуле разности степеней. --- ## Итог | Вид прогрессии | Формула для \( n \)-го члена | Формула суммы первых \( n \) членов | |---|---|---| | Арифметическая | \( a_n = a_1 + (n - 1) \times d \) | \( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) или \( S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] \) | | Геометрическая | \( a_n = a_1 \times q^{n - 1} \) | \( S_n = a_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1} \) (при \( q \neq 1 \)) | Если есть конкретные числа или примеры — присылайте, я помогу решить их подробно!