В классе планируется проверочная работа. Каждому школьнику достанется случайное задание на одну из 5 тем. В классе: 10 отличников, которые знают все темы; 5 хорошистов, каждый из…

Давайте решим задачу пошагово.

Общие данные:

• Всего учеников:
  \(10\) отличников,
  \(5\) хорошистов,
  \(5\) троечников.
  Общее количество учеников:
  \(N = 10 + 5 + 5 = 20\).

• Каждому ученику достается случайная тема из 5 возможных тем.

• Важно:

  • Отличники знают все 5 тем.
  • Хорошисты знают 3 темы (выбираем 3 из 5).
  • Троечники знают 1 тему (одну из 5).

• Условие: выбранный случайный ученик знает тему, которая ему досталась. Нужно найти вероятность, что этот ученик — отличник.

Шаг 1. Определим вероятность для каждого типа ученика, что он знает выбранную тему

Обозначим:

• \(A\) — событие, что выбранный ученик — отличник.
• \(B\) — событие, что выбранный ученик — хорошист.
• \(C\) — событие, что выбранный ученик — троечник.

Вероятность выбрать ученика каждого типа:
\[ P(A) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}, \quad P(C) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}. \]

Шаг 2. Вероятность, что выбранный ученик знает его текущую тему, для каждого типа

• Отличники: знают все 5 тем.
  \[ P(\text{знает тему} \mid A) = 1. \]

• Горошисты: знают 3 темы. Вероятность, что выбранная тема — одна из их 3 известных:
  \[ P(\text{знает тему} \mid B) = \frac{3}{5}. \]

• Троечники: знают только 1 тему.
  \[ P(\text{знает тему} \mid C) = \frac{1}{5}. \]

Шаг 3. Общее вероятность того, что выбранный ученик знает тему

Используем формулу полной вероятности:
\[ P(\text{знает тему}) = P(A) \times P(\text{знает тему} \mid A) + P(B) \times P(\text{знает тему} \mid B) + P(C) \times P(\text{знает тему} \mid C). \]

Подставляем значения:
\[ P(\text{знает тему}) = \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5}. \]

Вычислим пошагово:

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{2} + \frac{3}{20} + \frac{1}{20}. \]

Общий знаменатель — 20:

\[ \frac{10}{20} + \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{10 + 3 + 1}{20} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}. \]

Итак,

\[ P(\text{знает тему}) = \frac{7}{10}. \]

Шаг 4. Используем формулу Байеса для поиска вероятности, что ученик — отличник, при условии, что он знает тему

Нам нужно найти:

\[ P(A \mid \text{знает тему}) = \frac{P(A) \times P(\text{знает тему} \mid A)}{P(\text{знает тему})}. \]

Подставляем значения:

\[ P(A \mid \text{знает тему}) = \frac{\frac{1}{2} \times 1}{\frac{7}{10}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{10}}. \]

Делим:

\[ \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{10}} = \frac{1/2}{7/10} = \frac{1/2 \times 10/7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}. \]

Ответ:

Вероятность, что выбранный ученик — отличник, при условии, что он знает тему, равна \(\boxed{\frac{5}{7}}\).