Давайте решим задачу пошагово.
Общие данные:
Всего учеников:
(10) отличников,
(5) хорошистов,
(5) троечников.
Общее количество учеников:
(N = 10 + 5 + 5 = 20).
Каждому ученику достается случайная тема из 5 возможных тем.
Важно:
- Отличники знают все 5 тем.
- Хорошисты знают 3 темы (выбираем 3 из 5).
- Троечники знают 1 тему (одну из 5).
Условие: выбранный случайный ученик знает тему, которая ему досталась. Нужно найти вероятность, что этот ученик — отличник.
Шаг 1. Определим вероятность для каждого типа ученика, что он знает выбранную тему
Обозначим:
- (A) — событие, что выбранный ученик — отличник.
- (B) — событие, что выбранный ученик — хорошист.
- (C) — событие, что выбранный ученик — троечник.
Вероятность выбрать ученика каждого типа:
[
P(A) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}, \quad P(C) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}.
]
Шаг 2. Вероятность, что выбранный ученик знает его текущую тему, для каждого типа
Отличники: знают все 5 тем.
[
P(\text{знает тему} \mid A) = 1.
]
Горошисты: знают 3 темы. Вероятность, что выбранная тема — одна из их 3 известных:
[
P(\text{знает тему} \mid B) = \frac{3}{5}.
]
Троечники: знают только 1 тему.
[
P(\text{знает тему} \mid C) = \frac{1}{5}.
]
Шаг 3. Общее вероятность того, что выбранный ученик знает тему
Используем формулу полной вероятности:
[
P(\text{знает тему}) = P(A) \times P(\text{знает тему} \mid A) + P(B) \times P(\text{знает тему} \mid B) + P(C) \times P(\text{знает тему} \mid C).
]
Подставляем значения:
[
P(\text{знает тему}) = \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5}.
]
Вычислим пошагово:
[
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{2} + \frac{3}{20} + \frac{1}{20}.
]
Общий знаменатель — 20:
[
\frac{10}{20} + \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{10 + 3 + 1}{20} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}.
]
Итак,
[
P(\text{знает тему}) = \frac{7}{10}.
]
Шаг 4. Используем формулу Байеса для поиска вероятности, что ученик — отличник, при условии, что он знает тему
Нам нужно найти:
[
P(A \mid \text{знает тему}) = \frac{P(A) \times P(\text{знает тему} \mid A)}{P(\text{знает тему})}.
]
Подставляем значения:
[
P(A \mid \text{знает тему}) = \frac{\frac{1}{2} \times 1}{\frac{7}{10}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{10}}.
]
Делим:
[
\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{10}} = \frac{1/2}{7/10} = \frac{1/2 \times 10/7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}.
]
Ответ:
Вероятность, что выбранный ученик — отличник, при условии, что он знает тему, равна (\boxed{\frac{5}{7}}).
