У рівнобедреному трикутнику АВС AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Знайдіть радіус вписаного кола, якщо висота ВН дорівнює

Давайте решим задачу пошагово. **Дано:** - Трикутник \( ABC \), який рівнобедрений з рівними сторонами \( AB = BC = 10 \) см. - Основна сторона \( AC = 12 \) см. - Висота \( ВН \) є певною, але її довжина не наведена. - Потрібно знайти радіус вписаного кола \( r \). --- ### Крок 1: Визначимо, що трикутник рівнобедрений з вершиною \( B \). Оскільки \( AB = BC \), то \( AB \) і \( BC \) — рівні сторони. Основа — \( AC \). --- ### Крок 2: Знайдемо висоту \( ВН \). З умови: - \( A = (0, 0) \), - \( C = (12, 0) \) — уздовж координатної осі з початком в точці \( A \). Координати вершини \( B \) будуть \( (x_B, y_B) \), і вона повинна бути такою, щоб відстані \( AB \) і \( BC \) дорівнювали 10 см. --- ### Крок 3: Запишемо рівності для сторін \( AB \) та \( BC \): \[ AB: \quad \sqrt{(x_B - 0)^2 + (y_B - 0)^2} = 10 \] \[ BC: \quad \sqrt{(x_B - 12)^2 + (y_B - 0)^2} = 10 \] Обидві рівності можна піднести до квадратів: \[ x_B^2 + y_B^2 = 100 \quad (1) \] \[ (x_B - 12)^2 + y_B^2 = 100 \quad (2) \] --- ### Крок 4: Віднімемо рівність (2) та (1): \[ (x_B - 12)^2 + y_B^2 - [x_B^2 + y_B^2] = 0 \] \[ (x_B^2 - 24 x_B + 144) + y_B^2 - x_B^2 - y_B^2 = 0 \] \[ -24 x_B + 144 = 0 \] \[ 24 x_B = 144 \] \[ x_B = 6 \] --- ### Крок 5: Знайдемо \( y_B \): Підставимо \( x_B = 6 \) у рівність (1): \[ 6^2 + y_B^2 = 100 \] \[ 36 + y_B^2 = 100 \] \[ y_B^2 = 64 \] \[ y_B = \pm 8 \] Ми можемо обрати будь-який варіант (залежно від положення трикутника). Припустимо, що вершина \( B \) знаходиться вище базової лінії, тобто \( y_B = 8 \). Отже, координати \( B \): \[ B = (6, 8) \] --- ### Крок 6: Знаходження висоти \( ВН \): Висота \( ВН \), відрізок від вершини \( B \) до основи \( AC \), буде перпендикулярною до \( AC \). Оскільки \( AC \) — це горизонтальна лінія (бо вона на осі \( x \)), то: \[ ВН = y_B = 8 \; \text{см} \] --- ### Крок 7: Знаходження площі трикутника \( ABC \): Основа \( AC = 12 \) см, висота \( ВН = 8 \) см. Площа трикутника: \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times ВН = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \text{ кв.см} \] --- ### Крок 8: Знаходження периметру \( P \): Ми вже знаємо сторони: \[ AB = 10, \quad BC = 10, \quad AC = 12 \] Периметр: \[ P = 10 + 10 + 12 = 32 \text{ см} \] --- ### Крок 9: Знаходження радіуса вписаного кола \( r \): Формула для \( r \): \[ r = \frac{2S}{P} \] Підставимо значення: \[ r = \frac{2 \times 48}{32} = \frac{96}{32} = 3 \text{ см} \] --- ## Відповідь: **Радіус вписаного кола \( r \) дорівнює 3 см.**