У рівнобедреному трикутнику АВС AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Знайдіть радіус вписаного кола, якщо висота ВН дорівнює
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Трикутник \( ABC \), який рівнобедрений з рівними сторонами \( AB = BC = 10 \) см.
- Основна сторона \( AC = 12 \) см.
- Висота \( ВН \) є певною, але її довжина не наведена.
- Потрібно знайти радіус вписаного кола \( r \).
Крок 1: Визначимо, що трикутник рівнобедрений з вершиною \( B \).
Оскільки \( AB = BC \), то \( AB \) і \( BC \) — рівні сторони.
Основа — \( AC \).
Крок 2: Знайдемо висоту \( ВН \).
З умови:
- \( A = (0, 0) \),
- \( C = (12, 0) \) — уздовж координатної осі з початком в точці \( A \).
Координати вершини \( B \) будуть \( (x_B, y_B) \), і вона повинна бути такою, щоб відстані \( AB \) і \( BC \) дорівнювали 10 см.
Крок 3: Запишемо рівності для сторін \( AB \) та \( BC \):
\[ AB: \quad \sqrt{(x_B - 0)^2 + (y_B - 0)^2} = 10 \] \[ BC: \quad \sqrt{(x_B - 12)^2 + (y_B - 0)^2} = 10 \]
Обидві рівності можна піднести до квадратів:
\[ x_B^2 + y_B^2 = 100 \quad (1) \] \[ (x_B - 12)^2 + y_B^2 = 100 \quad (2) \]
Крок 4: Віднімемо рівність (2) та (1):
\[ (x_B - 12)^2 + y_B^2 - [x_B^2 + y_B^2] = 0 \] \[ (x_B^2 - 24 x_B + 144) + y_B^2 - x_B^2 - y_B^2 = 0 \] \[ -24 x_B + 144 = 0 \] \[ 24 x_B = 144 \] \[ x_B = 6 \]
Крок 5: Знайдемо \( y_B \):
Підставимо \( x_B = 6 \) у рівність (1):
\[ 6^2 + y_B^2 = 100 \] \[ 36 + y_B^2 = 100 \] \[ y_B^2 = 64 \] \[ y_B = \pm 8 \]
Ми можемо обрати будь-який варіант (залежно від положення трикутника).
Припустимо, що вершина \( B \) знаходиться вище базової лінії, тобто \( y_B = 8 \).
Отже, координати \( B \):
\[ B = (6, 8) \]
Крок 6: Знаходження висоти \( ВН \):
Висота \( ВН \), відрізок від вершини \( B \) до основи \( AC \), буде перпендикулярною до \( AC \).
Оскільки \( AC \) — це горизонтальна лінія (бо вона на осі \( x \)), то:
\[ ВН = y_B = 8 \; \text{см} \]
Крок 7: Знаходження площі трикутника \( ABC \):
Основа \( AC = 12 \) см,
висота \( ВН = 8 \) см.
Площа трикутника:
\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times ВН = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \text{ кв.см} \]
Крок 8: Знаходження периметру \( P \):
Ми вже знаємо сторони:
\[ AB = 10, \quad BC = 10, \quad AC = 12 \]
Периметр:
\[ P = 10 + 10 + 12 = 32 \text{ см} \]
Крок 9: Знаходження радіуса вписаного кола \( r \):
Формула для \( r \):
\[ r = \frac{2S}{P} \]
Підставимо значення:
\[ r = \frac{2 \times 48}{32} = \frac{96}{32} = 3 \text{ см} \]
Відповідь:
Радіус вписаного кола \( r \) дорівнює 3 см.
