У рівнобедреному трикутнику АВС AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Знайдіть радіус вписаного кола, якщо висота ВН дорівнює 8 см.
Розв’яжео цю задачу по кроках.
Дано:
- Рівнобедрий трикутник \( ABC \), з \( AB = BC = 10 \text{ см} \), \( AC = 12 \text{ см} \).
- Висота \( ВH = 8 \text{ см} \) (від вершини \( B \) до основу \( AC \)).
Знайти: радіус вписаного кола \( r \).
Крок 1: Означення та схематизація
Оскільки \(ABC\) — рівнобедрений по сторонам \(AB\) і \(BC\), і маємо висоту \(BH\), проведену з вершини \(B\) до основи \(AC\), вона перетинає \(AC\) у точці \(H\).
Інше, оскільки \(AB = BC\) і довжина \(AC\) відома, можна визначити орієнтацію трикутника.
Крок 2: Знайти довжину \(AH\) і \(HC\)
Оскільки \(BH\) — висота, вона розділяє основу \(AC\) навпіл у разі рівнобедреного трикутника.
Проте, для цього потрібно перевірити, чи \(H\) — саме точка, де висота перетина основу порівну, тобто \(H\) — середина \(AC\).
У разі рівнобедреного трикутника висота, проведена з вершини, із серединою основи. Тобто, \(H\) — середина \(AC\).
Отже:
\[
AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6\, \text{см}
\]
Крок 3: Знайти довжини сторін і координатний підхід
Ми маємо:
- \(AH = 6\, \text{см}\), \(HC = 6\, \text{см}\),
- висота \(BH = 8\, \text{см}\).
Задано: \(AB = 10\, \text{см}\).
Візьмемо координатний план:
- \(A\) у точці \((0, 0)\),
- \(C\) у точці \((12, 0)\).
Тоді точка \(H\), — середина \(AC\), має координати \(\left(6, 0\right)\).
Точка \(B\) має координати \(\left(6, y\right)\) — по вертикалі над точкою \(H\), оскільки \(B\) і \(H\) лежать у одній вертикальній лінії (бо висота опущена з \(B\)).
Знаємо \(BH = 8\, \text{см}\), отже:
\[
|y - 0| = 8 \Rightarrow y = 8
\]
Координати точки \(B\) — \(\left(6, 8\right)\).
Перевіримо довжину сторони \(AB\):
\[ AB = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\, \text{см} \]
Отже, умова виконується.
Крок 4: Знайти площу трикутника \(S\)
Використовувати можемо або формулу через координати, або через висоту та основу.
Основа \(AC\): довжина \(12\, \text{см}\).
Висота \(BH\): \(8\, \text{см}\).
Площа:
\[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BH = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48\, \text{см}^2
\]
Крок 5: Знайти периметр \(P\) і його частки
Обчислюємо сторони:
- \(AB = 10\, \text{см}\),
- \(BC = 10\, \text{см}\),
- \(AC = 12\, \text{см}\).
Периметр:
\[
P = AB + BC + AC = 10 + 10 + 12 = 32\, \text{см}
\]
Крок 6: Знайти радіус вписаного кола \(r\)
Радіус вписаного кола в трикутнику обчислюється за формулою:
\[ r = \frac{S}{p} \]
де \(p\) — це напівпериметр:
\[ p = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16\, \text{см} \]
Отже:
\[ r = \frac{48}{16} = 3\, \text{см} \]
Відповідь:
Радіус вписаного кола \( r \) дорівнює \(\boxed{3\, \text{см}}\).
