У рівнобедреному трикутнику АВС AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Знайдіть радіус вписаного кола, якщо висота ВН дорівнює 8 см.

Розв’яжео цю задачу по кроках. **Дано:** - Рівнобедрий трикутник \( ABC \), з \( AB = BC = 10 \text{ см} \), \( AC = 12 \text{ см} \). - Висота \( ВH = 8 \text{ см} \) (від вершини \( B \) до основу \( AC \)). Знайти: радіус вписаного кола \( r \). --- ## Крок 1: Означення та схематизація Оскільки \(ABC\) — рівнобедрений по сторонам \(AB\) і \(BC\), і маємо висоту \(BH\), проведену з вершини \(B\) до основи \(AC\), вона перетинає \(AC\) у точці \(H\). Інше, оскільки \(AB = BC\) і довжина \(AC\) відома, можна визначити орієнтацію трикутника. --- ## Крок 2: Знайти довжину \(AH\) і \(HC\) Оскільки \(BH\) — висота, вона розділяє основу \(AC\) навпіл у разі рівнобедреного трикутника. Проте, для цього потрібно перевірити, чи \(H\) — саме точка, де висота перетина основу порівну, тобто \(H\) — середина \(AC\). *У разі рівнобедреного трикутника висота, проведена з вершини, із серединою основи. Тобто, \(H\) — середина \(AC\).* Отже: \[ AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6\, \text{см} \] --- ## Крок 3: Знайти довжини сторін і координатний підхід Ми маємо: - \(AH = 6\, \text{см}\), \(HC = 6\, \text{см}\), - висота \(BH = 8\, \text{см}\). Задано: \(AB = 10\, \text{см}\). Візьмемо координатний план: - \(A\) у точці \((0, 0)\), - \(C\) у точці \((12, 0)\). Тоді точка \(H\), — середина \(AC\), має координати \(\left(6, 0\right)\). Точка \(B\) має координати \(\left(6, y\right)\) — по вертикалі над точкою \(H\), оскільки \(B\) і \(H\) лежать у одній вертикальній лінії (бо висота опущена з \(B\)). Знаємо \(BH = 8\, \text{см}\), отже: \[ |y - 0| = 8 \Rightarrow y = 8 \] Координати точки \(B\) — \(\left(6, 8\right)\). Перевіримо довжину сторони \(AB\): \[ AB = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\, \text{см} \] Отже, умова виконується. --- ## Крок 4: Знайти площу трикутника \(S\) Використовувати можемо або формулу через координати, або через висоту та основу. Основа \(AC\): довжина \(12\, \text{см}\). Висота \(BH\): \(8\, \text{см}\). Площа: \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BH = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48\, \text{см}^2 \] --- ## Крок 5: Знайти периметр \(P\) і його частки Обчислюємо сторони: - \(AB = 10\, \text{см}\), - \(BC = 10\, \text{см}\), - \(AC = 12\, \text{см}\). Периметр: \[ P = AB + BC + AC = 10 + 10 + 12 = 32\, \text{см} \] --- ## Крок 6: Знайти радіус вписаного кола \(r\) Радіус вписаного кола в трикутнику обчислюється за формулою: \[ r = \frac{S}{p} \] де \(p\) — це напівпериметр: \[ p = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16\, \text{см} \] Отже: \[ r = \frac{48}{16} = 3\, \text{см} \] --- ## Відповідь: **Радіус вписаного кола \( r \) дорівнює \(\boxed{3\, \text{см}}\).**