Г

Давайте разберём задачу по шагам и подробно объясним каждый момент. **Задача:** Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Нужно доказать, что треугольник прямоугольный. --- ### Шаг 1: Обозначения и построение - Обозначим треугольник \( ABC \), в котором медидана проведена из вершины \( A \) к стороне \( BC \). Пусть \( M \) — точка пересечения медианы и стороны \( BC \). - Медиана \( AM \), соединяющая вершину \( A \) с точкой \( M \), делит \( BC \) пополам: \[ BM = MC. \] - Пусть длина стороны \( BC = a \); тогда: \[ BM = MC = \frac{a}{2}. \] --- ### Шаг 2: Условие задачи Условие: **Медиана равна половине стороны, к которой она проведена**, то есть: \[ AM = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}. \] ### Шаг 3: Что нужно доказать? Доказать, что треугольник \( ABC \) — прямоугольный. --- ### Шаг 4: Использование координат или геометрии Для удобства можно ввести координаты или рассуждать геометрически. #### Вариант 1 — Геометрическое рассуждение: - В треугольнике \( ABC \), медиана \( AM \) — от вершины \( A \) к середине \( M \ стороны \( BC \). - Мы знаем, что \( AM = \frac{a}{2} \). ### Шаг 5: Выводы и рассуждения Ведь длина медианы из вершины \( A \) в середину \( M \) стороны \( BC \): \[ AM^2 = AB^2 + AC^2 - \frac{1}{2} BC^2 \] или, по формуле длины медианы: \[ AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}. \] Так как \( BC = a \), то: \[ AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - a^2}{4}. \] Но по условию \( AM = \frac{a}{2} \): \[ \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - a^2}{4}. \] Упростим: \[ \frac{a^2}{4} = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - a^2}{4}. \] Множим обе части уравнения на 4: \[ a^2 = 2AB^2 + 2AC^2 - a^2. \] Переносим \( a^2 \) в левую часть: \[ a^2 + a^2 = 2AB^2 + 2AC^2, \] \[ 2a^2 = 2(AB^2 + AC^2). \] Делим обе части на 2: \[ a^2 = AB^2 + AC^2. \] --- ### **Шаг 6: Итог** Получено равенство: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2, \] что — классический признак прямого угла в треугольнике, где гипотенуза — сторона \( BC \), а катеты — \( AB \) и \( AC \). **Значит, треугольник \( ABC \) — прямоугольный, и угол \( \(A\) \) — прямой.** --- ### **Ответ:** **Треугольник \( ABC \) прямоугольный, причём угол \( \(A\) \) — прямой.**