Давайте разберемся по шагам с этой задачей.
Дано:
- Деревянные столбы стоят через каждые 30 м.
- Первый деревянный столб находится в начальной точке (на месте первого старого столба).
- Железобетонные столбы расставлены через каждые 50 м.
- Первый железобетонный столб поставлен на той же точке, что и первый деревянный.
Задача: Найти расстояние до ближайшего железобетонного столба, который окажется в то же место, где стояли деревянные.
Шаг 1: Определим последовательность положения деревянных столбов:
- Первое место: 0 м
- Второе: 30 м
- Третье: 60 м
- Четвертое: 90 м
- И так далее...
Общий вид для положения деревянных столбов:
[
D_n = 30 \times (n-1), \quad n = 1, 2, 3, \ldots
]
Шаг 2: Определим последовательность положения железобетонных столбов:
- Первое железобетонное: 0 м
- Второе: 50 м
- Третье: 100 м
- Четвертое: 150 м
- И так далее...
Общий вид для положения железобетонных столбов:
[
J_m = 50 \times (m-1), \quad m = 1, 2, 3, \ldots
]
Шаг 3: Нужно найти такие ( n ) и ( m ), чтобы ( D_n = J_m ) – то есть, чтобы столб как раз находился в одном и том же месте и деревянный, и железобетонный.
Подставим выражения:
[
30 (n-1) = 50 (m-1)
]
или:
[
30n - 30 = 50m - 50
]
Перенеси все в одну сторону:
[
30n - 50m = -20
]
Шаг 4: Найти целочисленные решения для уравнения:
[
30n - 50m = -20
]
Поделим обе части уравнения на 10 для упрощения:
[
3n - 5m = -2
]
Теперь ищем целочисленные решения.
Шаг 5: Решение уравнения:
Это диофантово уравнение:
[
3n - 5m = -2
]
Рассмотрим его решение:
Перепишем:
[
3n = 5m - 2
]
Чтобы ( n ) было целым, правая часть должна делиться на 3. Значит, ищем такие ( m ), что ( 5m - 2 ) делится на 3.
Рассмотрим по модулю 3:
[
5m - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 3)
]
Заменим 5 на 2 (по модулю 3, поскольку 5 ≡ 2):
[
2m - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 3)
]
Перенесем 2:
[
2m \equiv 2 \ (\text{mod}\ 3)
]
Так как 2 и 3 взаимно просты, то делить обе части на 2:
[
m \equiv 1 \ (\text{mod}\ 3)
]
Значит, ( m ) должно быть в виде:
[
m = 3k + 1, \quad k \ge 0
]
подставим обратно в уравнение для ( n ):
[
3n = 5m - 2 = 5(3k + 1) - 2 = 15k + 5 - 2 = 15k + 3
]
Следовательно,
[
n = \frac{15k + 3}{3} = 5k + 1
]
Итог:
Для каждого неотрицательного целого ( k ):
[
m = 3k + 1 \
n = 5k + 1
]
Расстояния:
- Деревянный столб: ( D_n = 30(n-1) )
- Железобетонный столб: ( J_m = 50(m-1) )
Подставим ( n ) и ( m ):
[
D_{n} = 30(5k + 1 - 1) = 30 \times 5k = 150k
]
[
J_{m} = 50(3k + 1 - 1) = 50 \times 3k = 150k
]
Эти два значения равны, что означает, что все общие положения столбов находятся в позициях ( 150k ) метров, где ( k \ge 0 ).
Ответ:
Первый такой совместный столб, после начального, находится на расстоянии ( 150 ) м, ( 300 ) м, ( 450 ) м и так далее.
Поскольку речь идет о ближайшем, то ближайший такой столб — через 150 м от начальной точки.
Итог:
Ближайший железобетонный столб, расположенный в том же месте, что и деревянный — через 150 метров от начального.
