Вдоль дороги через каждые 30 м стояли деревянные столбы линии электропередачи. Их решили заменить на новые железобетонные, расставив их через каждые 50 м. Первый столб поставили…
Вдоль дороги через каждые 30 м стояли деревянные столбы линии электропередачи. Их решили заменить на новые железобетонные, расставив их через каждые 50 м. Первый столб поставили на месте старого столба. На каком расстоянии от него будет находиться ближайший столб, поставленный в то же место, где стоял деревянный столб?
Давайте разберемся по шагам с этой задачей.
Дано:
- Деревянные столбы стоят через каждые 30 м.
- Первый деревянный столб находится в начальной точке (на месте первого старого столба).
- Железобетонные столбы расставлены через каждые 50 м.
- Первый железобетонный столб поставлен на той же точке, что и первый деревянный.
Задача: Найти расстояние до ближайшего железобетонного столба, который окажется в то же место, где стояли деревянные.
Шаг 1: Определим последовательность положения деревянных столбов:
- Первое место: 0 м
- Второе: 30 м
- Третье: 60 м
- Четвертое: 90 м
- И так далее...
Общий вид для положения деревянных столбов: \[ D_n = 30 \times (n-1), \quad n = 1, 2, 3, \ldots \]
Шаг 2: Определим последовательность положения железобетонных столбов:
- Первое железобетонное: 0 м
- Второе: 50 м
- Третье: 100 м
- Четвертое: 150 м
- И так далее...
Общий вид для положения железобетонных столбов: \[ J_m = 50 \times (m-1), \quad m = 1, 2, 3, \ldots \]
Шаг 3: Нужно найти такие \( n \) и \( m \), чтобы \( D_n = J_m \) – то есть, чтобы столб как раз находился в одном и том же месте и деревянный, и железобетонный.
Подставим выражения: \[ 30 (n-1) = 50 (m-1) \]
или: \[ 30n - 30 = 50m - 50 \]
Перенеси все в одну сторону: \[ 30n - 50m = -20 \]
Шаг 4: Найти целочисленные решения для уравнения:
\[ 30n - 50m = -20 \]
Поделим обе части уравнения на 10 для упрощения: \[ 3n - 5m = -2 \]
Теперь ищем целочисленные решения.
Шаг 5: Решение уравнения:
Это диофантово уравнение: \[ 3n - 5m = -2 \]
Рассмотрим его решение:
Перепишем: \[ 3n = 5m - 2 \]
Чтобы \( n \) было целым, правая часть должна делиться на 3. Значит, ищем такие \( m \), что \( 5m - 2 \) делится на 3.
Рассмотрим по модулю 3: \[ 5m - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 3) \]
Заменим 5 на 2 (по модулю 3, поскольку 5 ≡ 2): \[ 2m - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 3) \]
Перенесем 2: \[ 2m \equiv 2 \ (\text{mod}\ 3) \]
Так как 2 и 3 взаимно просты, то делить обе части на 2: \[ m \equiv 1 \ (\text{mod}\ 3) \]
Значит, \( m \) должно быть в виде:
\[ m = 3k + 1, \quad k \ge 0 \]
подставим обратно в уравнение для \( n \):
\[ 3n = 5m - 2 = 5(3k + 1) - 2 = 15k + 5 - 2 = 15k + 3 \]
Следовательно, \[ n = \frac{15k + 3}{3} = 5k + 1 \]
Итог:
Для каждого неотрицательного целого \( k \):
\[ m = 3k + 1 \\ n = 5k + 1 \]
Расстояния:
- Деревянный столб: \( D_n = 30(n-1) \)
- Железобетонный столб: \( J_m = 50(m-1) \)
Подставим \( n \) и \( m \):
\[ D_{n} = 30(5k + 1 - 1) = 30 \times 5k = 150k \] \[ J_{m} = 50(3k + 1 - 1) = 50 \times 3k = 150k \]
Эти два значения равны, что означает, что все общие положения столбов находятся в позициях \( 150k \) метров, где \( k \ge 0 \).
Ответ:
Первый такой совместный столб, после начального, находится на расстоянии \( 150 \) м, \( 300 \) м, \( 450 \) м и так далее.
Поскольку речь идет о ближайшем, то ближайший такой столб — через 150 м от начальной точки.
Итог:
Ближайший железобетонный столб, расположенный в том же месте, что и деревянный — через 150 метров от начального.
