Реши 4 задание
Конечно! Вот подробное решение 4-го задания.
Задание 4:
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями \( y=3x^2 \) и \( y=5 - 2x^2 \).
Шаг 1: Найти точки пересечения линий
Чтобы найти границы области, нужно решить систему уравнений:
\[ \begin{cases} y = 3x^2 \\ y = 5 - 2x^2 \end{cases} \]
Приравниваем выражения для \( y \):
\[ 3x^2 = 5 - 2x^2 \]
Объединим похожие члены:
\[ 3x^2 + 2x^2 = 5 \] \[ 5x^2 = 5 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \]
Теперь найдем соответствующие значения \( y \):
- При \( x = 1 \):
\[ y = 3 \cdot 1^2 = 3 \]
- При \( x = -1 \):
\[ y = 3 \cdot (-1)^2 = 3 \]
Итак, точки пересечения:
\[ (-1, 3) \quad \text{и} \quad (1, 3) \]
Шаг 2: Записать интеграл для площади
Область ограничена линиями \( y = 3x^2 \) и \( y = 5 - 2x^2 \) на интервале \( x \in [-1, 1] \).
Площадь области можно найти как интеграл разности верхней и нижней кривых:
\[ S = \int_{-1}^{1} \left( (5 - 2x^2) - 3x^2 \right) dx \]
Объединим выражение под интегралом:
\[ (5 - 2x^2) - 3x^2 = 5 - 5x^2 \]
Итак,
\[ S = \int_{-1}^{1} (5 - 5x^2) dx \]
Шаг 3: Вычисление интеграла
Рассмотрим интеграл по частям:
\[ S = \int_{-1}^{1} 5 dx - \int_{-1}^{1} 5x^2 dx \]
Вычислим каждый отдельно:
\(\int_{-1}^{1} 5 dx = 5 \times (1 - (-1)) = 5 \times 2 = 10\)
\(\int_{-1}^{1} 5x^2 dx = 5 \int_{-1}^{1} x^2 dx\)
\[ \int_{-1}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( \frac{1}{3} - \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
Тогда:
\[ 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \]
Шаг 4: Итоговое значение площади
\[ S = 10 - \frac{10}{3} = \frac{30}{3} - \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{20}{3} } \]
площадь фигуры, ограниченной линиями \( y=3x^2 \) и \( y=5 - 2x^2 \).
