Реши 4 задание

Конечно! Вот подробное решение 4-го задания. **Задание 4:** Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями \( y=3x^2 \) и \( y=5 - 2x^2 \). --- ### Шаг 1: Найти точки пересечения линий Чтобы найти границы области, нужно решить систему уравнений: \[ \begin{cases} y = 3x^2 \\ y = 5 - 2x^2 \end{cases} \] Приравниваем выражения для \( y \): \[ 3x^2 = 5 - 2x^2 \] Объединим похожие члены: \[ 3x^2 + 2x^2 = 5 \] \[ 5x^2 = 5 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): - При \( x = 1 \): \[ y = 3 \cdot 1^2 = 3 \] - При \( x = -1 \): \[ y = 3 \cdot (-1)^2 = 3 \] Итак, точки пересечения: \[ (-1, 3) \quad \text{и} \quad (1, 3) \] --- ### Шаг 2: Записать интеграл для площади Область ограничена линиями \( y = 3x^2 \) и \( y = 5 - 2x^2 \) на интервале \( x \in [-1, 1] \). Площадь области можно найти как интеграл разности верхней и нижней кривых: \[ S = \int_{-1}^{1} \left( (5 - 2x^2) - 3x^2 \right) dx \] Объединим выражение под интегралом: \[ (5 - 2x^2) - 3x^2 = 5 - 5x^2 \] Итак, \[ S = \int_{-1}^{1} (5 - 5x^2) dx \] --- ### Шаг 3: Вычисление интеграла Рассмотрим интеграл по частям: \[ S = \int_{-1}^{1} 5 dx - \int_{-1}^{1} 5x^2 dx \] Вычислим каждый отдельно: 1. \(\int_{-1}^{1} 5 dx = 5 \times (1 - (-1)) = 5 \times 2 = 10\) 2. \(\int_{-1}^{1} 5x^2 dx = 5 \int_{-1}^{1} x^2 dx\) \[ \int_{-1}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( \frac{1}{3} - \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Тогда: \[ 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \] --- ### Шаг 4: Итоговое значение площади \[ S = 10 - \frac{10}{3} = \frac{30}{3} - \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{20}{3} } \] площадь фигуры, ограниченной линиями \( y=3x^2 \) и \( y=5 - 2x^2 \).