Дать ответ

Дана задача — выбрать правильное решение дифференциального уравнения вида: \[ y'' + 3y' = 0 \] Шаг 1: Запишем характеристическое уравнение: \[ r^2 + 3r = 0 \] Шаг 2: Решим характеристическое уравнение: \[ r(r + 3) = 0 \] Отсюда получаем корни: \[ r_1 = 0, \quad r_2 = -3 \] Шаг 3: Общие решение дифференциального уравнения — экспоненциальные функции, соответствующие корням: \[ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} = C_1 e^{0 \cdot t} + C_2 e^{-3t} = C_1 + C_2 e^{-3t} \] Варианты ответа: 1. \(\, y = A e^{\cos t} + B e^{\sin t} \) — неправильный, так как решение связано с постоянными и экспонентами с степенями, не зависит от \(\cos t\) или \(\sin t\). 2. \(\, y = A e^{2t} + B e^{-3t} \) — частично неправильный, так как экспонента \( e^{2t} \) не появляется при решении этого уравнения. 3. \(\, y = A e^{t} + B e^{-t} \) — неправильный, так как корни уравнения не равны \( \pm 1 \). 4. \(\, y = A + B e^{-3t} \) — правильный ответ, так как совпадает с общим решением. Итак, правильный ответ: **4. \( y = A + B e^{-3t} \)**