дать ответ

Дана задача — выбрать правильное решение дифференциального уравнения вида:

\[ y'' + 3y' = 0 \]

Шаг 1: Запишем характеристическое уравнение:

\[ r^2 + 3r = 0 \]

Шаг 2: Решим характеристическое уравнение:

\[ r(r + 3) = 0 \]

Отсюда получаем корни:

\[ r_1 = 0, \quad r_2 = -3 \]

Шаг 3: Общие решение дифференциального уравнения — экспоненциальные функции, соответствующие корням:

\[ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} = C_1 e^{0 \cdot t} + C_2 e^{-3t} = C_1 + C_2 e^{-3t} \]

Варианты ответа:

1. \(\, y = A e^{\cos t} + B e^{\sin t} \) — неправильный, так как решение связано с постоянными и экспонентами с степенями, не зависит от \(\cos t\) или \(\sin t\).

2. \(\, y = A e^{2t} + B e^{-3t} \) — частично неправильный, так как экспонента \( e^{2t} \) не появляется при решении этого уравнения.

3. \(\, y = A e^{t} + B e^{-t} \) — неправильный, так как корни уравнения не равны \( \pm 1 \).

4. \(\, y = A + B e^{-3t} \) — правильный ответ, так как совпадает с общим решением.

Итак, правильный ответ:

4. \( y = A + B e^{-3t} \)