дать ответ

На данном изображении изображено задание по математике, касающееся дифференциальных уравнений. Вопрос: "Общее решение дифференциального уравнения y' = 2x имеет вид" и нужно выбрать правильный ответ из нескольких вариантов.

Рассмотрим задание подробнее:

Дифференциальное уравнение:
\[ y' = 2x \]

Это простое дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить методом интегрирования.
При решении уравнения вида \( y' = f(x) \), общее решение записывается как:
\[ y = \int f(x) dx + C \]

Следовательно,
\[ y = \int 2x dx + C \]

Интегрируем:
\[ y = 2 \int x dx + C = 2 \times \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C \]

То есть, общее решение данного дифференциального уравнения:
\[ y = x^2 + C \]

Теперь сравним с предложенными вариантами:
a. \( y = x^2 + c \) — подходит, потому что \( c \) — произвольная константа (то же самое, что \( C \)).

b. \( y = e^{3x} \) — не подходит, так как решение не включает экспоненту.

c. \( y = x + 3 \) — не подходит, это конкретное решение, а не общее.

d. \( y = 5 + e \) — не подходит, постоянное значение без переменной x.

Ответ: вариант а. \( y = x^2 + c \).