На данном изображении изображено задание по математике, касающееся дифференциальных уравнений. Вопрос: "Общее решение дифференциального уравнения y' = 2x имеет вид" и нужно выбрать правильный ответ из нескольких вариантов.
Рассмотрим задание подробнее:
Дифференциальное уравнение:
[ y' = 2x ]
Это простое дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить методом интегрирования.
При решении уравнения вида ( y' = f(x) ), общее решение записывается как:
[ y = \int f(x) dx + C ]
Следовательно,
[ y = \int 2x dx + C ]
Интегрируем:
[ y = 2 \int x dx + C = 2 \times \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C ]
То есть, общее решение данного дифференциального уравнения:
[ y = x^2 + C ]
Теперь сравним с предложенными вариантами:
a. ( y = x^2 + c ) — подходит, потому что ( c ) — произвольная константа (то же самое, что ( C )).
b. ( y = e^{3x} ) — не подходит, так как решение не включает экспоненту.
c. ( y = x + 3 ) — не подходит, это конкретное решение, а не общее.
d. ( y = 5 + e ) — не подходит, постоянное значение без переменной x.
Ответ: вариант а. ( y = x^2 + c ).
