x(x 3(x-1) =x²(x 2)
Давайте подробно разберем задачу:
\[ x(x - 3)(x - 1) = x^2(x - 2) \]
Цель — понять решение, так что я подробно объясню каждый шаг.
Шаг 1: Раскроем левую сторону уравнения
Левое выражение:
\[ x(x - 3)(x - 1) \]
Чтобы упростить, нужно раскрыть произведение трех множителей. Для этого удобно сначала перемножить \((x - 3)\) и \((x - 1)\), а затем умножить результат на \(x\).
Шаг 2: Раскроем \((x - 3)(x - 1)\)
Используем дистрибутивное свойство:
\[ (x - 3)(x - 1) = x \cdot x - x \cdot 1 - 3 \cdot x + 3 \cdot 1 \]
\[ = x^2 - x - 3x + 3 \]
\[ = x^2 - 4x + 3 \]
Теперь исходное левое выражение:
\[ x \cdot (x^2 - 4x + 3) \]
Шаг 3: Раскроем произведение с \(x\)
\[ x \cdot x^2 - x \cdot 4x + x \cdot 3 \]
\[ = x^3 - 4x^2 + 3x \]
Это левая часть уравнения.
Шаг 4: Запишем уравнение полностью
Получаем:
\[ x^3 - 4x^2 + 3x = x^2 (x - 2) \]
Шаг 5: Раскроем правую часть
\[ x^2 (x - 2) = x^2 \cdot x - x^2 \cdot 2 = x^3 - 2x^2 \]
Шаг 6: Перенесем все в левую часть уравнения, чтобы приравнять к нулю
\[ x^3 - 4x^2 + 3x - (x^3 - 2x^2) = 0 \]
Раскроем скобки и приведем подобные:
\[ x^3 - 4x^2 + 3x - x^3 + 2x^2 = 0 \]
\[ (x^3 - x^3) + (-4x^2 + 2x^2) + 3x = 0 \]
\[ 0 - 2x^2 + 3x = 0 \]
Или:
\[ -2x^2 + 3x = 0 \]
Шаг 7: Решим полученное квадратное уравнение
Вынесем общий множитель:
\[ x(-2x + 3) = 0 \]
Это произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\( x = 0 \)
\(-2x + 3 = 0 \Rightarrow -2x = -3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \)
Итог:
Корни уравнения:
\[ \boxed{ x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{3}{2} } \]
Если у вас есть вопросы по решению или нужно подробнее объяснить какой-либо шаг — скажите!
