Васе и его сестре Маше вместе 26 лет, причём Маше в 3 раза меньше лет, чем будет Васе тогда, когда им вместе будет в 5 раз больше, чем Васе сейчас. Сколько сейчас лет каждому из них?

Давайте внимательно разберём условие и пошагово решим задачу. Обозначим: - **Вася сейчас:** \( V \) - **Маша сейчас:** \( M \) По условию: 1. Вместе им сейчас **26 лет**: \[ V + M = 26 \] 2. Маша в 3 раза меньше лет, чем будет Вася, когда им вместе будет в 5 раз больше, чем Васе сейчас. Это очень сложное условие, его лучше разобрать по частям: - Пусть через **t лет** у Васи будет \( V + t \) - correspondingly, у Маши будет \( M + t \) **Условие:** "Маше в 3 раза меньше лет, чем будет Вася тогда, когда им вместе будет в 5 раз больше, чем Васе сейчас." Переформулируем: - В будущем (через t лет): \[ \text{Вася} = V + t \] \[ \text{Маша} = M + t \] \[ \text{Общая сумма} = (V + t) + (M + t) = V + M + 2t \] - Согласно условию, эта сумма в 5 раз больше чем сейчас у Васи: \[ V + M + 2t = 5V \] Итак, \[ V + M + 2t = 5V \implies M + 2t = 4V \quad \text{(уравнение 1)} \] Также, по условию, Маше в 3 раза меньше лет, чем Вася тогда: \[ M = \frac{1}{3}(V + t) \] (у Маши — в будущем возраст, потому что мы сравниваем с возрастами в будущем). Известно, что \( V + M = 26 \) (текущий возраст). Подставим \( M \): \[ V + \frac{1}{3}(V + t) = 26 \] Упростим: \[ V + \frac{V + t}{3} = 26 \] \[ \frac{3V + V + t}{3} = 26 \] \[ \frac{4V + t}{3} = 26 \] \[ 4V + t = 78 \] Отсюда выразим \( t \): \[ t = 78 - 4V \] Теперь подставим это \( t \) в уравнение 1: \[ M + 2t = 4V \] Но мы знаем, что \( M = \frac{V + t}{3} \), подставим: \[ \frac{V + t}{3} + 2t = 4V \] Подставим \( t = 78 - 4V \): \[ \frac{V + (78 - 4V)}{3} + 2(78 - 4V) = 4V \] Упростим числитель первой дроби: \[ V + 78 - 4V = 78 - 3V \] Тогда уравнение стало: \[ \frac{78 - 3V}{3} + 2(78 - 4V) = 4V \] Рассчитаем каждую часть: \[ \frac{78 - 3V}{3} = 26 - V \] и \[ 2(78 - 4V) = 156 - 8V \] Запишем: \[ (26 - V) + (156 - 8V) = 4V \] Объединим: \[ 26 + 156 - V - 8V = 4V \] \[ 182 - 9V = 4V \] Перенесем все вправо: \[ 182 = 4V + 9V \] \[ 182 = 13V \] Отсюда: \[ V = \frac{182}{13} = 14 \] Теперь найдём \( M \): \[ M = 26 - V = 26 - 14 = 12 \] Найдем \( t \): \[ t = 78 - 4V = 78 - 4 \times 14 = 78 - 56 = 22 \] Проверим Машин в 3 раза меньше лет, чем будет Вася тогда: Возраст Васи через \( t \) лет: \[ V + t = 14 + 22 = 36 \] Возраст Маши через \( t \): \[ M + t = 12 + 22 = 34 \] Действительно, \( 34 \) в 3 раза меньше, чем 36? \[ \frac{36}{3} = 12 \] Да, соответствует текущему возрасту Маши, что подтверждает правильность. ### Итог: - Сейчас Васе **14 лет** - Сейчас Маше **12 лет** Ответ: **Вася — 14 лет, Маша — 12 лет**.