Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Изначально на прилавке лежало 35 арбузов.
- Один арбуз уронили и разбили.
- Масса этого разбитого арбуза на 5 кг меньше средней массы всех 35 арбузов.
- Затем этот разбитый арбуз выбросили.
- В магазин принесли новый арбуз, и его масса на 12 кг больше новой средней массы оставшихся арбузов.
- Требуется найти, насколько килограммов разбитый арбуз был легче, чем новый.
Шаг 1. Обозначим переменные:
- Пусть:
- ( M_{orig} ) — суммарная масса всех 35 арбузов до падения.
- ( M_{mean} ) — средняя масса всех 35 арбузов до падения:
[ M_{mean} = \frac{M_{orig}}{35} ]
- ( m_{broken} ) — масса разбитого арбуза.
- ( M_{new} ) — масса нового арбуза.
- ( M_{new_avg} ) — новая средняя масса оставшихся арбузов после выбрасывания разбитого.
Шаг 2. Запишем условия по данным из задания.
Масса разбитого арбуза на 5 кг меньше средней:
[ m_{broken} = M_{mean} - 5 ]
После выбрасывания разбитого арбуза осталось 34 арбуза:
[ M_{remaining} = M_{orig} - m_{broken} ]
Новая средняя масса оставшихся арбузов:
[ M_{avg_after} = \frac{M_{remaining}}{34} ]
Масса нового арбуза больше новой средней массы на 12 кг:
[ M_{new} = M_{avg_after} + 12 ]
Шаг 3. Выразим все переменные через ( M_{orig} ).
По первому условию:
[ m_{broken} = \frac{M_{orig}}{35} - 5 ]
Общая масса оставшихся после разбитого:
[ M_{remaining} = M_{orig} - m_{broken} = M_{orig} - \left(\frac{M_{orig}}{35} - 5\right) ]
[ M_{remaining} = M_{orig} - \frac{M_{orig}}{35} + 5 ]
Найдём новую среднюю массу:
[ M_{avg_after} = \frac{M_{remaining}}{34} = \frac{M_{orig} - \frac{M_{orig}}{35} + 5}{34} ]
Масс нового арбуза:
[ M_{new} = M_{avg_after} + 12 ]
Шаг 4. Выразим ( M_{avg_after} ) более удобно.
Перепишем numerator:
[
M_{orig} - \frac{M_{orig}}{35} + 5 = M_{orig} \left(1 - \frac{1}{35}\right) + 5 = M_{orig} \left(\frac{34}{35}\right) + 5
]
Следовательно,
[
M_{avg_after} = \frac{\frac{34}{35} M_{orig} + 5}{34}
]
Раскроем дробь:
[
M_{avg_after} = \frac{\frac{34}{35} M_{orig}}{34} + \frac{5}{34} = \frac{34 M_{orig}}{35 \times 34} + \frac{5}{34} = \frac{M_{orig}}{35} + \frac{5}{34}
]
Шаг 5. Выразим массу нового арбуза ( M_{new} ).
[
M_{new} = M_{avg_after} + 12 = \left(\frac{M_{orig}}{35} + \frac{5}{34}\right) + 12
]
Шаг 6. Подсчитаем, насколько разбитый арбуз был легче нового.
Нам нужно найти:
[
\Delta = M_{new} - m_{broken}
]
Подставим выражения:
[
\Delta = \left(\frac{M_{orig}}{35} + \frac{5}{34} + 12\right) - \left(\frac{M_{orig}}{35} - 5\right) = \left(\frac{M_{orig}}{35}\right) + \frac{5}{34} + 12 - \frac{M_{orig}}{35} + 5
]
Обратите внимание, что ( \frac{M_{orig}}{35} ) сокращается:
[
\Delta = \frac{5}{34} + 12 + 5 = \frac{5}{34} + 17
]
Переведем 17 в дробь с denominator 34:
[
17 = \frac{17 \times 34}{34} = \frac{578}{34}
]
Следовательно,
[
\Delta = \frac{5}{34} + \frac{578}{34} = \frac{5 + 578}{34} = \frac{583}{34}
]
Ответ:
Разбитый арбуз был легче нового на (\displaystyle \frac{583}{34}) кг, что примерно равно:
[
\frac{583}{34} \approx 17.15 \text{ кг}
]
Итог:
Разбитый арбуз был легче нового примерно на 17.15 кг.
