У продавца на прилавке лежало 35 арбузов. Один из них он уронил, причём масса этого арбуза была на 5 кг меньше средней массы всех арбузов. Ему пришлось выбросить разбитый и…
У продавца на прилавке лежало 35 арбузов. Один из них он уронил, причём масса этого арбуза была на 5 кг меньше средней массы всех арбузов. Ему пришлось выбросить разбитый и принести новый арбуз со склада. Оказалось, что масса нового арбуза на 12 кг больше новой средней массы. На сколько килограммов разбитый арбуз был легче, чем новый?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Изначально на прилавке лежало 35 арбузов.
- Один арбуз уронили и разбили.
- Масса этого разбитого арбуза на 5 кг меньше средней массы всех 35 арбузов.
- Затем этот разбитый арбуз выбросили.
- В магазин принесли новый арбуз, и его масса на 12 кг больше новой средней массы оставшихся арбузов.
- Требуется найти, насколько килограммов разбитый арбуз был легче, чем новый.
Шаг 1. Обозначим переменные:
- Пусть:
- \( M_{orig} \) — суммарная масса всех 35 арбузов до падения.
- \( M_{mean} \) — средняя масса всех 35 арбузов до падения:
\[ M_{mean} = \frac{M_{orig}}{35} \] - \( m_{broken} \) — масса разбитого арбуза.
- \( M_{new} \) — масса нового арбуза.
- \( M_{new\_avg} \) — новая средняя масса оставшихся арбузов после выбрасывания разбитого.
Шаг 2. Запишем условия по данным из задания.
Масса разбитого арбуза на 5 кг меньше средней:
\[ m_{broken} = M_{mean} - 5 \]После выбрасывания разбитого арбуза осталось 34 арбуза:
\[ M_{remaining} = M_{orig} - m_{broken} \]Новая средняя масса оставшихся арбузов:
\[ M_{avg\_after} = \frac{M_{remaining}}{34} \]Масса нового арбуза больше новой средней массы на 12 кг:
\[ M_{new} = M_{avg\_after} + 12 \]
Шаг 3. Выразим все переменные через \( M_{orig} \).
По первому условию:
\[ m_{broken} = \frac{M_{orig}}{35} - 5 \]Общая масса оставшихся после разбитого:
\[ M_{remaining} = M_{orig} - m_{broken} = M_{orig} - \left(\frac{M_{orig}}{35} - 5\right) \]\[ M_{remaining} = M_{orig} - \frac{M_{orig}}{35} + 5 \]
Найдём новую среднюю массу:
\[ M_{avg\_after} = \frac{M_{remaining}}{34} = \frac{M_{orig} - \frac{M_{orig}}{35} + 5}{34} \]Масс нового арбуза:
\[ M_{new} = M_{avg\_after} + 12 \]
Шаг 4. Выразим \( M_{avg\_after} \) более удобно.
Перепишем numerator:
\[
M_{orig} - \frac{M_{orig}}{35} + 5 = M_{orig} \left(1 - \frac{1}{35}\right) + 5 = M_{orig} \left(\frac{34}{35}\right) + 5
\]
Следовательно,
\[
M_{avg\_after} = \frac{\frac{34}{35} M_{orig} + 5}{34}
\]
Раскроем дробь:
\[
M_{avg\_after} = \frac{\frac{34}{35} M_{orig}}{34} + \frac{5}{34} = \frac{34 M_{orig}}{35 \times 34} + \frac{5}{34} = \frac{M_{orig}}{35} + \frac{5}{34}
\]
Шаг 5. Выразим массу нового арбуза \( M_{new} \).
\[ M_{new} = M_{avg\_after} + 12 = \left(\frac{M_{orig}}{35} + \frac{5}{34}\right) + 12 \]
Шаг 6. Подсчитаем, насколько разбитый арбуз был легче нового.
Нам нужно найти:
\[
\Delta = M_{new} - m_{broken}
\]
Подставим выражения: \[ \Delta = \left(\frac{M_{orig}}{35} + \frac{5}{34} + 12\right) - \left(\frac{M_{orig}}{35} - 5\right) = \left(\frac{M_{orig}}{35}\right) + \frac{5}{34} + 12 - \frac{M_{orig}}{35} + 5 \]
Обратите внимание, что \( \frac{M_{orig}}{35} \) сокращается:
\[ \Delta = \frac{5}{34} + 12 + 5 = \frac{5}{34} + 17 \]
Переведем 17 в дробь с denominator 34:
\[ 17 = \frac{17 \times 34}{34} = \frac{578}{34} \]
Следовательно,
\[ \Delta = \frac{5}{34} + \frac{578}{34} = \frac{5 + 578}{34} = \frac{583}{34} \]
Ответ:
Разбитый арбуз был легче нового на \(\displaystyle \frac{583}{34}\) кг, что примерно равно:
\[ \frac{583}{34} \approx 17.15 \text{ кг} \]
Итог:
Разбитый арбуз был легче нового примерно на 17.15 кг.
