Давайте решим уравнение (b^2 - 5b - 14 = 0), используя теорему Виета.
Шаг 1: Проверка формы уравнения
Это квадратичное уравнение вида (ax^2 + bx + c = 0), где:
- (a = 1),
- (b = -5),
- (c = -14).
Шаг 2: Нахождение корней уравнения с помощью дискриминанта
Дискриминант (D = b^2 - 4ac).
Подставим значения:
[
D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-14) = 25 + 56 = 81.
]
Так как дискриминант положительный, у уравнения два действительных корня.
Найдем корни по формуле:
[
b_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
]
Подставим значения:
[
b_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{81}}{2 \times 1} = \frac{5 \pm 9}{2}.
]
Шаг 3: Вычисление корней
- Первый корень:
[
b_1 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7.
]
- Второй корень:
[
b_2 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2.
]
Шаг 4: Использование теоремы Виета
Теорема Виета говорит, что для квадратичного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):
[
b_1 + b_2 = -\frac{b}{a},
]
[
b_1 \times b_2 = \frac{c}{a}.
]
Подставим наши корни:
- Сумма:
[
7 + (-2) = 5,
]
- Произведение:
[
7 \times (-2) = -14.
]
Проверка:
[
-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5,
]
[
\frac{c}{a} = \frac{-14}{1} = -14.
]
Все совпадает с полученными корнями. Значит, решение верное.
Ответ:
Корни уравнения: (\boxed{b = 7}) и (\boxed{b = -2}).
