Сколько существует трёхзначных чисел делящихся на 25 в записи которых участвуют ровно две различные цифры

Рассмотрим задачу: нужно найти количество трёхзначных чисел, делящихся на 25, в записи которых участвуют ровно две различные цифры. Общие условия: - число трёхзначное (от 100 до 999). - делится на 25. - в числе участвуют ровно две разные цифры. Рассмотрим по шагам: --- ### 1. Определим, какие числа делятся на 25 в интервале 100–999 Числа, делящиеся на 25, в диапазоне: \[ 100, 125, 150, \dots, 975 \] Последовательность: - Первый трёхзначный делитель 25 — это 100 (25×4). - Последний — 975 (25×39). Общее количество: \[ \text{число элементов} = 39 - 4 + 1 = 36 \] --- ### 2. Определим возможные формы трёхзначных чисел, делящихся на 25 В числе делящемся на 25, последние две цифры могут быть: - 00 - 25 - 50 - 75 Проверим каждую возможность отдельно. --- ### 3. Распределим по случаям: #### случай A: последние две цифры — 00 Тогда число вида: \(\text{ABC} = \text{A}00\) - А — первая цифра: 1–9 - В — любая цифра (0–9) Но поскольку в числе должны участвовать только две разные цифры, и в числе есть цифра \(A\) и 0. Условие: участие **ровно двух** цифр, следовательно: - цифры \(A\) и 0 действительно все число используют. - число не должно содержать третьей цифры, отличной от этих двух. Итак, число: \(\text{A}00\) Цифры: - A ≠ 0 (число трёхзначное, значит первая цифра не может быть нулём) - В — 0, так как последние две цифры — 00 Проверим набор цифр: - Если A ≠ 0, то цифры в числе — A и 0 - Могут ли в числе появиться другие цифры? Нет, так как набор цифр только A и 0 Также важно, чтобы **участвовали ровно две цифры**, что есть, так как в числе только A и 0. Проверка: - A может быть от 1 до 9 - Числа вида: A00, где A=1..9 Все эти числа: - 100, 200, ..., 900 все участвуют только в цифрах {A,0} и таких чисел ровно 9. --- ### 4. Следующий случай: последние две цифры — 25 Числа вида: \(\text{AB}25\) - Первая цифра A: 1–9 - Вторая цифра B: 0–9 Рассмотрим цифры A и B и условие, что всего участвуют **ровно две цифры**. Обозначим: - цифры в числе: A, B — уникальные - Цифра 2 и 5 обязательно участвуют (последняя цифра — 25) Значит: - В числе есть цифры 2 или 5, и еще одна цифра (A или B), не равная 2 или 5, чтобы всего было две цифры. Однако, поскольку в числе только две цифры,: - либо цифры 2 и 5, тогда в числе есть только эти две цифры - либо есть цифры A и B, при этом одна из них — 2 или 5. Рассмотрим случаи: **(a)** Цифры — 2 и 5 Тогда число: - А — 1..9 (первая цифа не может быть 0) - В — 0..9 Но так как число — \(\text{AB}25\), где только две цифры, то: - A и B — это 2 и 5, или петля (каков тип?). Проверяем, что число из цифр 2 и 5: - A — 2 или 5 - B — 2 или 5 И должно быть ровно 2 разные цифры в числе: это обязательно. Тогда, исключая случай, когда A и B одинаковы: - А=2, B=5 - А=5, B=2 Это дают числа: - 225 - 525 Проверим, делятся ли они на 25: - 225 / 25 = 9 → делится - 525 / 25 = 21 → делится Проверим, участвуют ли только две цифры? Да. В обеих есть только цифры 2 и 5. **(b)** Цифра B — не 2 или 5, тогда цифра A должна быть 2 или 5, чтобы всего было две цифры. Но это невозможно, так как в числе \(\text{AB}25\): - цифра B не равна 2 или 5, а в числах, где всего две цифры, B — не должна быть 2 или 5 иначе цифр будет 2. Значит, исключаем такие варианты. ИТОГ для этого случая: только два числа: - 225 - 525 --- ### 5. Следующий случай: последние две цифры — 50 Числа вида: \(\text{AB}50\) - Первая цифра: A (1..9) - Вторая цифра: B (0..9) Ищем числа, в которых участвуют ровно две цифры. Цифры в числе: A, B, 5, 0 Обязательные цифры: 5 и 0, так как последние две цифры — 50. Значит, в числе участвуют цифры 0, 5, и возможна цифра А. Для условий задачи, всего в числе должно быть только две уникальные цифры, следовательно: - одна из цифр — 0, вторая — 5, и A должен быть или 0 или 5. Но в числе \(\text{A}50\): - цифра 0 и 5 уже есть - цифра A — если она равна 0 или 5, то цифр всего две (минимум), при условии, что в числе только эти цифры. Проверим: - Если A=0: число 050 — недопустимо, так как трёхзначное число не может начинаться с 0. - Если A=5: число 550 — это 550 и оно подходит — дві цифры 5 и 0, число делится на 25 (550/25=22), и цифры — 5 и 0, ровно две. Следовательно, есть одно число: - 550 --- ### 6. Последний случай: последние две цифры — 75 Числа вида: \(\text{AB}75\) - Первая цифра: A (1..9) - Вторая цифра: B (0..9) Условия похожи на предыдущие: - Цифры в числе: A, B, 7, 5 Чтобы было ровно две цифры, B должно быть либо 7, либо 5, чтобы исключить третью цифру. Рассмотрим: - Если B=7, то цифры: 5, 7, возможно A Проверим возможность участия только в двух цифрах: - В числе есть 7 и 5, итак, мы должны убедиться, что в числе участвуют только эти цифры (A — может быть 5 или 7). **(a)** А=5: число 575 - Цифры: 5 и 7 — ровно две - Делится на 25? \(\frac{575}{25} = 23\) — делится - Участие только цифр 5 и 7 — верно. **(b)** А=7: число 775 - Цифры: 7 и 5 — входят - Проверим делимость: \(\frac{775}{25}=31\), делится. - Участие - 7 и 5 — есть. - Число трёхзначное, первая цифра 7 — допустимо. Итак, числа: - 575 - 775 --- ### **ИТОГ:** Посмотрим собранный список всех подходящих чисел: | Последние цифры | Возможные числа | Количество | Обоснование | |------------------|------------------|-------------|--------------| | 00 | 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 | 9 | только цифры 0 и A(1..9), A ≠ 0 | | 25 | 225, 525 | 2 | цифры 2 и 5, оба числа делятся на 25 | | 50 | 550 | 1 | цифры 0 и 5, делится на 25 | | 75 | 575, 775 | 2 | цифры 5 и 7, делятся на 25 | --- ### **Общее число подходящих чисел:** \[ 9 + 2 + 1 + 2 = 14 \] --- ## Итог: **Ответ:** **14** --- Если потребуется, я могу подготовить более подробное объяснение по каждому случаю или помочь с другими заданиями!