На доске выписано несколько ненулевых чисел. Докажите что среди них найдется такое, для которого среди выписанных нет числа ни втрое большего ни вдвое меньшего

Давайте разберем задачу пошагово и подробно. **Задача:** На доске выписано несколько ненулевых чисел. Докажите, что среди них найдется такое число, для которого среди всех выписанных чисел не будет числа, которое одновременно: - В 3 раза больше этого числа, или - В 2 раза меньше этого числа. Иными словами, нужно показать, что существует число \( x \), для которого не существует числа \( y \) в множестве таких, что: \[ y = 3x \quad \text{или} \quad y = \frac{x}{2} \] --- ### Шаг 1. Постановка задачи на более понятный язык Задача сводится к следующему: среди наборы выписанных чисел обязательно найдется число, которое **не является ни втрое большим** другого, ни вдвое меньшим (то есть, для этого числа не существует другого числа в множестве, которое находится в отношении 3 к нему или в отношении \(\frac{1}{2}\) к нему). --- ### Шаг 2. Анализ условий - Если бы все числа были "строго связаны" по этим отношениям, то каждый из них был бы либо в отношении втрое к другому, либо в отношении вдвое к нему. - В задаче нужно доказать, что **такой хотя бы один существует**. ### Шаг 3. Продумываем идею доказательства — «противоположное» предположение Чтобы доказать искомое, предположим противоположное — что **для всех чисел в множестве** существует **другое число**, которое: - в 3 раза больше этого числа, или - в 2 раза меньше этого числа. То есть, предположим, что: > **Для каждого числа \( a \) в множестве есть число \( y \), такое что \( y = 3a \) или \( y = \frac{a}{2} \).** --- ### Шаг 4. Построение цепочки и вывод Если такое предположение верно, то: - если у нас есть число \( a \), - то обязательно есть одно число \( y \), которое либо равно \( 3a \), либо равно \( a/2 \). Давайте рассмотрим примеры: - начинаем с некоторого числа \( a_1 \), - поскольку для него существует число \( y \), равное \( 3a_1 \) или \( a_1/2 \), - для последнего найденного числа тоже существует свой "продолжатель" по тому же правилу, и так далее. Всего таких цепочек может быть бесконечно много, и они могут включать в себя числовые последовательности вида: \[ a, 3a, 9a, \dots \] или \[ a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \dots \] и так далее. --- ### Шаг 5. Противоречие — наличие бесконечной цепи Но в множестве ограниченное число элементов (числа на доске — это конечное множество). Тогда возникает противоречие: - Если бы для каждого элемента существовало соответствующее "соседнее" число, то цепочка могла бы продолжаться бесконечно. - Значит, не все элементы могут иметь такие отношения — это противоречит нашему предположению, что для каждого числа найдено подходящее \( y \). ### Итог: следствие Следовательно, **существует хотя бы одно число** в множестве, для которого **не существует ни втрое большее, ни вдвое меньшее** с другим числом из этого множества. Иначе говоря, в множестве **найдется** такое число \( x \), что: \[ \text{нет числа } y \text{ в множестве, для которого } y = 3x \quad \text{или} \quad y = \frac{x}{2}. \] --- ### **Ответ:** **Доказано**, что в любом множестве ненулевых чисел, выписанных на доске, обязательно найдется число, для которого среди выписанных нет числа, равного втрое большему или вдвое меньшему этому числу. ---