на доске выписано несколько ненулевых чисел. Докажите что среди них найдется такое, для которого среди выписанных нет числа ни втрое большего ни вдвое меньшего

Давайте разберем задачу пошагово и подробно.

Задача:
На доске выписано несколько ненулевых чисел. Докажите, что среди них найдется такое число, для которого среди всех выписанных чисел не будет числа, которое одновременно:

• В 3 раза больше этого числа, или
• В 2 раза меньше этого числа.

Иными словами, нужно показать, что существует число \( x \), для которого не существует числа \( y \) в множестве таких, что: \[ y = 3x \quad \text{или} \quad y = \frac{x}{2} \]

Шаг 1. Постановка задачи на более понятный язык

Задача сводится к следующему: среди наборы выписанных чисел обязательно найдется число, которое не является ни втрое большим другого, ни вдвое меньшим (то есть, для этого числа не существует другого числа в множестве, которое находится в отношении 3 к нему или в отношении \(\frac{1}{2}\) к нему).

Шаг 2. Анализ условий

• Если бы все числа были "строго связаны" по этим отношениям, то каждый из них был бы либо в отношении втрое к другому, либо в отношении вдвое к нему.
• В задаче нужно доказать, что такой хотя бы один существует.

Шаг 3. Продумываем идею доказательства — «противоположное» предположение

Чтобы доказать искомое, предположим противоположное — что для всех чисел в множестве существует другое число, которое:

• в 3 раза больше этого числа, или
• в 2 раза меньше этого числа.

То есть, предположим, что:

Для каждого числа \( a \) в множестве есть число \( y \), такое что \( y = 3a \) или \( y = \frac{a}{2} \).

Шаг 4. Построение цепочки и вывод

Если такое предположение верно, то:

• если у нас есть число \( a \),
• то обязательно есть одно число \( y \), которое либо равно \( 3a \), либо равно \( a/2 \).

Давайте рассмотрим примеры:

• начинаем с некоторого числа \( a_1 \),
• поскольку для него существует число \( y \), равное \( 3a_1 \) или \( a_1/2 \),
• для последнего найденного числа тоже существует свой "продолжатель" по тому же правилу, и так далее.

Всего таких цепочек может быть бесконечно много, и они могут включать в себя числовые последовательности вида: \[ a, 3a, 9a, \dots \] или \[ a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \dots \] и так далее.

Шаг 5. Противоречие — наличие бесконечной цепи

Но в множестве ограниченное число элементов (числа на доске — это конечное множество). Тогда возникает противоречие:

• Если бы для каждого элемента существовало соответствующее "соседнее" число, то цепочка могла бы продолжаться бесконечно.
• Значит, не все элементы могут иметь такие отношения — это противоречит нашему предположению, что для каждого числа найдено подходящее \( y \).

Итог: следствие

Следовательно, существует хотя бы одно число в множестве, для которого не существует ни втрое большее, ни вдвое меньшее с другим числом из этого множества. Иначе говоря, в множестве найдется такое число \( x \), что:

\[ \text{нет числа } y \text{ в множестве, для которого } y = 3x \quad \text{или} \quad y = \frac{x}{2}. \]

Ответ:

Доказано, что в любом множестве ненулевых чисел, выписанных на доске, обязательно найдется число, для которого среди выписанных нет числа, равного втрое большему или вдвое меньшему этому числу.