Решить в целых числах уравнение: x*x=y*y+2y+9
Давайте решим уравнение в целых числах:
\[ x^2 = y^2 + 2y + 9 \]
Шаг 1. Перепишем уравнение
Обратим внимание на правую часть:
\[ y^2 + 2y + 9 \]
Можно выразить её в виде полной квадратичной формы, добавив и вычтя 1:
\[ y^2 + 2y + 1 + 8 = (y + 1)^2 + 8 \]
Таким образом, уравнение можно переписать как:
\[ x^2 = (y + 1)^2 + 8 \]
Шаг 2. Вводим новую переменную
Обозначим:
\[ t = y + 1 \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ x^2 = t^2 + 8 \]
Или:
\[ x^2 - t^2 = 8 \]
Шаг 3. Используем разность квадратов
Уравнение:
\[ x^2 - t^2 = (x - t)(x + t) = 8 \]
Нам осталось найти такие целые числа \( x \) и \( t \), чтобы произведение \( (x - t)(x + t) \) было равно 8.
Шаг 4. Найдём делители 8
Разложим 8 на делители:
\[ 8 = 1 \times 8 \]
\[ 8 = 2 \times 4 \]
\[ 8 = (-1) \times (-8) \]
\[ 8 = (-2) \times (-4) \]
Так как \( (x - t) \) и \( (x + t) \) оба целые, они должны быть делителями 8, и при этом:
- Их сумма:
\[ (x - t) + (x + t) = 2x \] - Их разность:
\[ (x + t) - (x - t) = 2t \]
Значит, для каждого делителя \( a \), парой будет:
\[ (a, \frac{8}{a}) \]
И в этих парах:
\[ x = \frac{a + \frac{8}{a}}{2} \]
\[ t = \frac{\frac{8}{a} - a}{2} \]
Чтобы \( x \) и \( t \) были целыми числами, сумма и разность делителей должны быть чётными, так как делятся на 2.
Шаг 5. Проверка каждой пары делителей
Рассмотрим каждую пару:
Пара 1: \( (1, 8) \)
- \( x = \frac{1 + 8}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \) — не целое.
- \( t = \frac{8 - 1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \) — не целое.
Не подходит.
Пара 2: \( (2, 4) \)
- \( x = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) — целое.
- \( t = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) — целое.
Значит, для этой пары есть решение.
Обратимся к переменной \( y \): \[ t = y + 1 \Rightarrow y = t - 1 = 1 - 1 = 0 \]
Также \( x = 3 \).
Проверим исходное уравнение: \[ x^2 = y^2 + 2y + 9 \] \[ 3^2 = 0^2 + 0 + 9 \] \[ 9 = 9 \]
Верно.
Пара 3: \( (-1, -8) \)
- \( x = \frac{-1 + (-8)}{2} = \frac{-9}{2} = -4.5 \) — не целое.
- \( t = \frac{-8 - (-1)}{2} = \frac{-8 + 1}{2} = \frac{-7}{2} = -3.5 \) — не целое.
Не подходит.
Пара 4: \( (-2, -4) \)
- \( x = \frac{-2 + (-4)}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) — целое.
- \( t = \frac{-4 - (-2)}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Обратимся к \( y \): \[ y = t - 1 = -1 - 1 = -2 \]
Проверка: \[ x = -3 \] \[ y = -2 \] Проверим исходное уравнение: \[ (-3)^2 = (-2)^2 + 2 \times (-2) + 9 \] \[ 9 = 4 - 4 + 9 \] \[ 9 = 9 \]
Верно.
Итог:
Найденные решения:
- \( x = 3, y = 0 \)
- \( x = -3, y = -2 \)
Ответ:
Целые решения уравнения: \[ \boxed{ \begin{cases} x = 3, \quad y = 0 \\ x = -3, \quad y = -2 \end{cases} } \]
Если нужны дополнительные объяснения или проверка, я готов помочь!
