Решить в целых числах уравнение: x*x=y*y+2y+9

Давайте решим уравнение в целых числах: \[ x^2 = y^2 + 2y + 9 \] ### Шаг 1. Перепишем уравнение Обратим внимание на правую часть: \[ y^2 + 2y + 9 \] Можно выразить её в виде полной квадратичной формы, добавив и вычтя 1: \[ y^2 + 2y + 1 + 8 = (y + 1)^2 + 8 \] Таким образом, уравнение можно переписать как: \[ x^2 = (y + 1)^2 + 8 \] --- ### Шаг 2. Вводим новую переменную Обозначим: \[ t = y + 1 \] Тогда уравнение принимает вид: \[ x^2 = t^2 + 8 \] Или: \[ x^2 - t^2 = 8 \] --- ### Шаг 3. Используем разность квадратов Уравнение: \[ x^2 - t^2 = (x - t)(x + t) = 8 \] Нам осталось найти такие целые числа \( x \) и \( t \), чтобы произведение \( (x - t)(x + t) \) было равно 8. --- ### Шаг 4. Найдём делители 8 Разложим 8 на делители: \[ 8 = 1 \times 8 \] \[ 8 = 2 \times 4 \] \[ 8 = (-1) \times (-8) \] \[ 8 = (-2) \times (-4) \] Так как \( (x - t) \) и \( (x + t) \) оба целые, они должны быть делителями 8, и при этом: - Их сумма: \[ (x - t) + (x + t) = 2x \] - Их разность: \[ (x + t) - (x - t) = 2t \] Значит, для каждого делителя \( a \), парой будет: \[ (a, \frac{8}{a}) \] И в этих парах: \[ x = \frac{a + \frac{8}{a}}{2} \] \[ t = \frac{\frac{8}{a} - a}{2} \] Чтобы \( x \) и \( t \) были целыми числами, сумма и разность делителей должны быть чётными, так как делятся на 2. --- ### Шаг 5. Проверка каждой пары делителей Рассмотрим каждую пару: #### Пара 1: \( (1, 8) \) - \( x = \frac{1 + 8}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \) — не целое. - \( t = \frac{8 - 1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \) — не целое. Не подходит. #### Пара 2: \( (2, 4) \) - \( x = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) — целое. - \( t = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) — целое. Значит, для этой пары есть решение. Обратимся к переменной \( y \): \[ t = y + 1 \Rightarrow y = t - 1 = 1 - 1 = 0 \] Также \( x = 3 \). Проверим исходное уравнение: \[ x^2 = y^2 + 2y + 9 \] \[ 3^2 = 0^2 + 0 + 9 \] \[ 9 = 9 \] Верно. #### Пара 3: \( (-1, -8) \) - \( x = \frac{-1 + (-8)}{2} = \frac{-9}{2} = -4.5 \) — не целое. - \( t = \frac{-8 - (-1)}{2} = \frac{-8 + 1}{2} = \frac{-7}{2} = -3.5 \) — не целое. Не подходит. #### Пара 4: \( (-2, -4) \) - \( x = \frac{-2 + (-4)}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) — целое. - \( t = \frac{-4 - (-2)}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) Обратимся к \( y \): \[ y = t - 1 = -1 - 1 = -2 \] Проверка: \[ x = -3 \] \[ y = -2 \] Проверим исходное уравнение: \[ (-3)^2 = (-2)^2 + 2 \times (-2) + 9 \] \[ 9 = 4 - 4 + 9 \] \[ 9 = 9 \] Верно. --- ### Итог: ### Найденные решения: 1. \( x = 3, y = 0 \) 2. \( x = -3, y = -2 \) --- ### **Ответ:** Целые решения уравнения: \[ \boxed{ \begin{cases} x = 3, \quad y = 0 \\ x = -3, \quad y = -2 \end{cases} } \] Если нужны дополнительные объяснения или проверка, я готов помочь!