Давайте подробно решим задачу о поиске точек нулевого потенциала в поле двух разноимённых точечных зарядов.
Дано:
- Заряды: ( q_1 = -1, \text{кН} \cdot \text{Кл} = -1 \times 10^{-9} \text{Кл} ),
- ( q_2 = 3, \text{кН} \cdot \text{Кл} = 3 \times 10^{-9} \text{Кл} ),
- Расстояние между ними: ( d = 60, \text{см} ).
Запрос: найти расстояния ( x ) от заряда ( q_1 ), где потенциал равен нулю, и эти точки лежат на прямой, соединяющей заряды, по обе стороны от них.
1. Закон сложения потенциалов
Потенциал в точке, находящейся на расстоянии ( x ) от ( q_1 ), равен сумме потенциалов от каждого из зарядов:
[
V = V_1 + V_2 = \frac{k q_1}{r_1} + \frac{k q_2}{r_2}
]
где:
- ( r_1 = x ),
- ( r_2 = d - x ).
Для нулевого потенциала:
[
\frac{k q_1}{x} + \frac{k q_2}{d - x} = 0,
]
или после сокращения ( k \neq 0 ):
[
\frac{q_1}{x} + \frac{q_2}{d - x} = 0.
]
2. Решение уравнения
Подставляем значения зарядов:
[
\frac{-1 \times 10^{-9}}{x} + \frac{3 \times 10^{-9}}{60 - x} = 0.
]
Упростим:
[
\frac{-1}{x} + \frac{3}{60 - x} = 0,
]
или
[
\frac{3}{60 - x} = \frac{1}{x}.
]
Переносим:
[
3x = 60 - x.
]
Решаем относительно ( x ):
[
3x + x = 60,
]
[
4x = 60,
]
[
x = \frac{60}{4} = 15, \text{см}.
]
Это одна точка нулевого потенциала, расположенная слева от ( q_1 ).
3. Поиск второго решения
Поскольку потенциал уравнение имеет две области — слева от ( q_1 ), между зарядом и бесконечностью справа, и справа от ( q_2 ).
Рассмотрим позицию, где потенциал равен нулю между зарядами и за ( q_2 ):
[
\frac{q_1}{x} + \frac{q_2}{d - x} = 0,
]
где ( x ) — это расстояние от ( q_1 ), и ( 60, \text{см} ) — расстояние между зарядами.
Для нахождения второго решения, рассмотрим, что ( x > 60 ) или внутри интервала.
Область справа:
Пусть ( x > 60 ), тогда ( r_1 = x ), ( r_2 = x - 60 ).
Обновляя уравнение:
[
\frac{-1}{x} + \frac{3}{x - 60} = 0,
]
[
\frac{3}{x - 60} = \frac{1}{x},
]
[
3x = x - 60,
]
[
3x - x = -60,
]
[
2x = -60,
]
[
x = -30, \text{см}.
]
Это невозможный результат (отрицательное расстояние), значит, в интервале за ( q_2 ) решения нет.
Рассмотрим, что ( x ) лежит между 0 и 60 см.
Предположим, что есть решение, ( x > 60 ) — тогда:
здесь уравнение принимает вид:
[
\frac{-1}{x} + \frac{3}{x - 60} = 0,
]
[
\Rightarrow 3/x = 1/(x-60),
]
[
\Rightarrow 3(x - 60) = x,
]
[
3x - 180 = x,
]
[
3x - x = 180,
]
[
2x = 180,
]
[
x = 90, \text{см}.
]
Это — расстояние от ( q_1 ) до точки за расстоянием между зарядами, то есть точка находится за ( q_2 ).
Итоговые решения:
- Первая точка — ( x = 15, \text{см} ) (слева от ( q_1 )),
- Вторая точка — ( x = 90, \text{см} ) (справа за ( q_2 )).
Ответ:
Расстояния от ( q_1 ) до точек нулевого потенциала:
[
\boxed{
15, \text{см}, \quad 90, \text{см}
}
]
Округлено до целых, как требуется.
Если есть еще вопросы или необходимо подробное объяснение, пожалуйста, сообщайте!
