угол противолежащий основанию равнобедренного треугольника равна 120° боковая сторона треугольника равна 8 см найдите диа 1 диаметр окружности описанной около этого треугольника
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Дана задача:
- Есть равнобедренный треугольник.
- Угол противолежащий основанию равен 120°.
- Боковая сторона треугольника равна 8 см.
- Требуется найти диаметр описанной вокруг треугольника окружности (Диаметр окружности, описанной около треугольника).
Шаг 1: Обозначим переменные и сведения
Обозначим треугольник так:
- Назовем основание \(AB\).
- Пусть вершина, противоположная основанию \(AB\), — это вершина \(C\).
По условию:
- Угол при вершине \(C\), противолежащий основанию, равен 120°.
- Боковые стороны \(AC = BC = 8\,\text{см}\).
Поскольку треугольник равнобедренный и боковые стороны равны, следовательно, \(AC = BC\).
Шаг 2: Используем свойства треугольника
Нам нужно найти диаметр описанной окружности. Формула радиуса описанной окружности (окружности около треугольника):
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
где
- \(a, b, c\) — стороны треугольника,
- \(S\) — площадь треугольника.
Диаметр окружности — это \(2R\).
Значит, нам нужно найти радиус \(R\).
Шаг 3: Вычисление стороны основания \(AB\)
Для этого используем следующую информацию:
- Угол при вершине \(C\) равен 120°,
- \(AC = BC = 8\,\text{см}\).
Обозначим:
- основание \(AB = x\).
Треугольник \(ABC\) — равнобедренный, с боковыми сторонами 8 см и углом при вершине \(C\) равным 120°.
Используем косинусную формулу для стороны \(AB\):
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) \]
Подставим значения:
\(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\):
\[ x^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
Рассчитаем:
\[ x^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 128 + 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \]
Обратите внимание, что знак минус в косинусе превращается в плюс при изложении формулы, поскольку там был минус:
\[ x^2 = 128 + (2 \cdot 8 \cdot 8 \times \frac{1}{2}) = 128 + (2 \cdot 8 \cdot 8 \div 2) = 128 + (8 \times 8) = 128 + 64 = 192 \]
То есть:
\[ AB = x = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8 \sqrt{3}\,\text{см} \]
Шаг 4: Находим площадь треугольника \(S\)
Для этого можно использовать формулу с двумя сторонами и включённым углом:
\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sin(120^\circ) \]
\(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3} \]
Шаг 5: Вычисление радиуса описанной окружности \(R\)
Теперь у нас есть стороны:
- \(a = BC = 8\, \text{см}\),
- \(b = AC = 8\, \text{см}\),
- \(c = AB = 8 \sqrt{3}\,\text{см}\),
и площадь: \(S = 16 \sqrt{3}\).
Подставим в формулу:
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
Расчитаем числитель:
\[ abc = 8 \times 8 \times 8 \sqrt{3} = 64 \times 8 \sqrt{3} = 512 \sqrt{3} \]
Обозначим:
\[ R = \frac{512 \sqrt{3}}{4 \times 16 \sqrt{3}} = \frac{512 \sqrt{3}}{64 \sqrt{3}} \]
Упростим:
\[ R = \frac{512}{64} = 8\, \text{см} \]
Ответ:
Радиус описанной окружности равен 8 см.
Диаметр окружности:
\[ D = 2R = 2 \times 8 = \boxed{16\, \text{см}} \]
Итог:
Диаметр окружности, описанной около данного равнобедренного треугольника, равен 16 см.
