Угол противолежащий основанию равнобедренного треугольника равна 120° боковая сторона треугольника равна 8 см найдите диа 1 диаметр окружности описанной около этого треугольника

Давайте разберемся с задачей пошагово. **Дана задача:** - Есть равнобедренный треугольник. - Угол противолежащий основанию равен 120°. - Боковая сторона треугольника равна 8 см. - Требуется найти диаметр описанной вокруг треугольника окружности (Диаметр окружности, описанной около треугольника). --- ### Шаг 1: Обозначим переменные и сведения Обозначим треугольник так: - Назовем основание \(AB\). - Пусть вершина, противоположная основанию \(AB\), — это вершина \(C\). По условию: - Угол при вершине \(C\), противолежащий основанию, равен 120°. - Боковые стороны \(AC = BC = 8\,\text{см}\). Поскольку треугольник равнобедренный и боковые стороны равны, следовательно, \(AC = BC\). --- ### Шаг 2: Используем свойства треугольника Нам нужно найти диаметр описанной окружности. Формула радиуса описанной окружности (окружности около треугольника): \[ R = \frac{abc}{4S} \] где - \(a, b, c\) — стороны треугольника, - \(S\) — площадь треугольника. Диаметр окружности — это \(2R\). Значит, нам нужно найти радиус \(R\). --- ### Шаг 3: Вычисление стороны основания \(AB\) Для этого используем следующую информацию: - Угол при вершине \(C\) равен 120°, - \(AC = BC = 8\,\text{см}\). Обозначим: - основание \(AB = x\). Треугольник \(ABC\) — равнобедренный, с боковыми сторонами 8 см и углом при вершине \(C\) равным 120°. Используем косинусную формулу для стороны \(AB\): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) \] Подставим значения: \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ x^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] Рассчитаем: \[ x^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 128 + 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] Обратите внимание, что знак минус в косинусе превращается в плюс при изложении формулы, поскольку там был минус: \[ x^2 = 128 + (2 \cdot 8 \cdot 8 \times \frac{1}{2}) = 128 + (2 \cdot 8 \cdot 8 \div 2) = 128 + (8 \times 8) = 128 + 64 = 192 \] То есть: \[ AB = x = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8 \sqrt{3}\,\text{см} \] --- ### Шаг 4: Находим площадь треугольника \(S\) Для этого можно использовать формулу с двумя сторонами и включённым углом: \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sin(120^\circ) \] \(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3} \] --- ### Шаг 5: Вычисление радиуса описанной окружности \(R\) Теперь у нас есть стороны: - \(a = BC = 8\, \text{см}\), - \(b = AC = 8\, \text{см}\), - \(c = AB = 8 \sqrt{3}\,\text{см}\), и площадь: \(S = 16 \sqrt{3}\). Подставим в формулу: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Расчитаем числитель: \[ abc = 8 \times 8 \times 8 \sqrt{3} = 64 \times 8 \sqrt{3} = 512 \sqrt{3} \] Обозначим: \[ R = \frac{512 \sqrt{3}}{4 \times 16 \sqrt{3}} = \frac{512 \sqrt{3}}{64 \sqrt{3}} \] Упростим: \[ R = \frac{512}{64} = 8\, \text{см} \] --- ### **Ответ:** Радиус описанной окружности равен **8 см**. Диаметр окружности: \[ D = 2R = 2 \times 8 = \boxed{16\, \text{см}} \] --- ### Итог: **Диаметр окружности, описанной около данного равнобедренного треугольника, равен 16 см.**