√(x + 5) - √(x - 3) = 2

Конечно! Сейчас я подробно объясню, как решить уравнение: \[ \sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 3} = 2 \] --- ### Шаг 1: Определение условий для переменной \( x \) Поскольку в уравнении есть корни, необходимо понять, при каких значениях \( x \) выражения под корнями определены: - \( x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5 \) - \( x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \) Объединяя условия, получаем: \[ x \geq 3 \] Это условие гарантирует, что выражения под корнями определены и уравнение корректно. --- ### Шаг 2: Введение новых переменных для упрощения Обозначим: \[ a = \sqrt{x + 5} \quad \text{и} \quad b = \sqrt{x - 3} \] Тогда у нас есть уравнение: \[ a - b = 2 \] Также из определения переменных следует: \[ a^2 = x + 5 \quad \text{и} \quad b^2 = x - 3 \] --- ### Шаг 3: Связь переменных Вычитая два выражения: \[ a^2 - b^2 = (x + 5) - (x - 3) = 8 \] Но известна формула разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Подставим: \[ (a - b)(a + b) = 8 \] Из уравнения в шаге 2: \[ a - b = 2 \] Следовательно: \[ 2(a + b) = 8 \Rightarrow a + b = 4 \] --- ### Шаг 4: Решение системы Получили систему: \[ \begin{cases} a - b = 2 \\ a + b = 4 \end{cases} \] Решим её: Сложим оба уравнения: \[ (a - b) + (a + b) = 2 + 4 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3 \] Теперь найдём \( b \): \[ a + b = 4 \Rightarrow 3 + b = 4 \Rightarrow b = 1 \] --- ### Шаг 5: Возврат к \( x \) Из определения \( a \) и \( b \): \[ a = \sqrt{x + 5} = 3 \Rightarrow x + 5 = 9 \Rightarrow x = 4 \] и \[ b = \sqrt{x - 3} = 1 \Rightarrow x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \] Оба выражения согласуются при \( x = 4 \). --- ### Шаг 6: Проверка решения Подставим \( x = 4 \) обратно в исходное уравнение: \[ \sqrt{4 + 5} - \sqrt{4 - 3} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 \] Это соответствует правой части уравнения, значит \( x = 4 \) — это решение. --- ### Итог: **Ответ:** \(\boxed{x = 4}\). Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснение по какому-либо шагу — обращайтесь!