√(x + 5) - √(x - 3) = 2
Конечно! Сейчас я подробно объясню, как решить уравнение:
\[ \sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 3} = 2 \]
Шаг 1: Определение условий для переменной \( x \)
Поскольку в уравнении есть корни, необходимо понять, при каких значениях \( x \) выражения под корнями определены:
- \( x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5 \)
- \( x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \)
Объединяя условия, получаем:
\[ x \geq 3 \]
Это условие гарантирует, что выражения под корнями определены и уравнение корректно.
Шаг 2: Введение новых переменных для упрощения
Обозначим:
\[
a = \sqrt{x + 5} \quad \text{и} \quad b = \sqrt{x - 3}
\]
Тогда у нас есть уравнение:
\[
a - b = 2
\]
Также из определения переменных следует:
\[
a^2 = x + 5 \quad \text{и} \quad b^2 = x - 3
\]
Шаг 3: Связь переменных
Вычитая два выражения:
\[
a^2 - b^2 = (x + 5) - (x - 3) = 8
\]
Но известна формула разности квадратов:
\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]
Подставим:
\[
(a - b)(a + b) = 8
\]
Из уравнения в шаге 2:
\[
a - b = 2
\]
Следовательно:
\[
2(a + b) = 8 \Rightarrow a + b = 4
\]
Шаг 4: Решение системы
Получили систему:
\[
\begin{cases}
a - b = 2 \\
a + b = 4
\end{cases}
\]
Решим её:
Сложим оба уравнения:
\[
(a - b) + (a + b) = 2 + 4 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3
\]
Теперь найдём \( b \):
\[
a + b = 4 \Rightarrow 3 + b = 4 \Rightarrow b = 1
\]
Шаг 5: Возврат к \( x \)
Из определения \( a \) и \( b \):
\[
a = \sqrt{x + 5} = 3 \Rightarrow x + 5 = 9 \Rightarrow x = 4
\]
и
\[
b = \sqrt{x - 3} = 1 \Rightarrow x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4
\]
Оба выражения согласуются при \( x = 4 \).
Шаг 6: Проверка решения
Подставим \( x = 4 \) обратно в исходное уравнение:
\[
\sqrt{4 + 5} - \sqrt{4 - 3} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2
\]
Это соответствует правой части уравнения, значит \( x = 4 \) — это решение.
Итог:
Ответ: \(\boxed{x = 4}\).
Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснение по какому-либо шагу — обращайтесь!
