Решить
Давайте подробно решим каждое неравенство по очереди.
1. \( 3 - 5(2x + 4) \geq 7 - 2x \)
Раскроем скобки:
\[ 3 - 10x - 20 \geq 7 - 2x \]
Объединим подобные:
\[ -17 - 10x \geq 7 - 2x \]
Перенесем все с \(x\) в левую сторону и числа в правую:
\[ -10x + 2x \geq 7 + 17 \]
\[ -8x \geq 24 \]
Делим обе части на \(-8\), не забываем менять знак неравенства:
\[ x \leq -3 \]
Ответ для 1-го: \( x \leq -3 \).
2. \( 6x - 3(x - 1) \leq 2 + 5x \)
Раскроем скобки:
\[ 6x - 3x + 3 \leq 2 + 5x \]
Объединим:
\[ 3x + 3 \leq 2 + 5x \]
Перенесем все с \(x\) в левую, числа — в правую:
\[ 3x - 5x \leq 2 - 3 \]
\[ -2x \leq -1 \]
Делим на \(-2\), меняем знак:
\[ x \geq \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \]
Ответ для 2-го: \( x \geq \frac{1}{2} \).
3. \( x - 2(x - 1) \geq 10 + 3(x + 4) \)
Раскроем скобки:
\[ x - 2x + 2 \geq 10 + 3x + 12 \]
Объединим:
\[ -x + 2 \geq 22 + 3x \]
Перенесем с \(x\):
\[ -x - 3x \geq 22 - 2 \]
\[ -4x \geq 20 \]
Делим на \(-4\):
\[ x \leq -5 \]
Ответ для 3-го: \( x \leq -5 \).
4. \( 2(2x - 3,5) - 3(2 - 3x) < 6(1 - x) \)
Раскроем скобки (учитывая, что 3,5 — это 3.5):
\[ (4x - 7) - 3(2 - 3x) < 6 - 6x \]
Раскроем дальше:
\[ 4x - 7 - 6 + 9x < 6 - 6x \]
Объединяем:
\[ 13x - 13 < 6 - 6x \]
Переносим все с \(x\) и числа:
\[ 13x + 6x < 6 + 13 \]
\[ 19x < 19 \]
Делим оба числа на 19:
\[ x < 1 \]
Ответ для 4-го: \( x < 1 \).
5. \((x + 1)(x - 2) \leq (x - 3)(x + 3) \)
Раскроем скобки:
\[ x^2 - 2x + x - 2 \leq x^2 + 3x - 3x - 9 \]
Упростим:
\[ x^2 - x - 2 \leq x^2 - 9 \]
Перенесем все в левую:
\[ x^2 - x - 2 - x^2 + 9 \leq 0 \]
\[ - x + 7 \leq 0 \]
\[ - x \leq -7 \]
\[ x \geq 7 \]
Ответ для 5-го: \( x \geq 7 \).
6. \( (4x - 3)^2 + (3x + 2)^2 \geq (5x + 1)^2 \)
Раскроем квадраты:
\[ (16x^2 - 24x + 9) + (9x^2 + 12x + 4) \geq 25x^2 + 10x + 1 \]
Объединим левую:
\[ 16x^2 + 9x^2 - 24x + 12x + 9 + 4 \geq 25x^2 + 10x + 1 \]
\[ 25x^2 - 12x + 13 \geq 25x^2 + 10x + 1 \]
Вычтем \(25x^2\) с обеих сторон:
\[ -12x + 13 \geq 10x + 1 \]
Переносим:
\[ -12x - 10x \geq 1 - 13 \]
\[ -22x \geq -12 \]
Делим на \(-22\):
\[ x \leq \frac{-12}{-22} = \frac{6}{11} \]
Ответ для 6-го: \( x \leq \frac{6}{11} \).
7. \( \frac{2x - 1}{4} \geq \frac{3x - 5}{5} \)
Перемножим обе части на 20 (на оба знаменателя):
\[ 5(2x - 1) \geq 4(3x - 5) \]
Раскроем:
\[ 10x - 5 \geq 12x - 20 \]
Переносим:
\[ -5 + 20 \geq 12x - 10x \]
\[ 15 \geq 2x \]
Делим на 2:
\[ x \leq \frac{15}{2} = 7.5 \]
Ответ для 7-го: \( x \leq 7.5 \).
8. \( \frac{3x + 7}{4} - \frac{5x - 2}{2} < x \)
Приведем к общему знаменателю 4:
\[ \frac{3x + 7}{4} - \frac{2(5x - 2)}{4} < x \]
Раскроем:
\[ \frac{3x + 7 - 2(5x - 2)}{4} < x \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{3x + 7 - 10x + 4}{4} < x \]
Упростим:
\[ \frac{-7x + 11}{4} < x \]
Умножим обе части на 4:
\[ -7x + 11 < 4x \]
Перенесем:
\[ -7x - 4x < -11 \]
\[ -11x < -11 \]
Делим на \(-11\):
\[ x > 1 \]
Ответ для 8-го: \( x > 1 \).
9. \( (x - 5)(x + 1) \leq 3 + (x - 2)^2 \)
Раскроем:
\[ x^2 + x - 5x - 5 \leq 3 + x^2 - 4x + 4 \]
Упростим левую и правую части:
\[ x^2 - 4x - 5 \leq 3 + x^2 - 4x + 4 \]
Вычтем \(x^2 - 4x\) с обеих сторон:
\[ -5 \leq 7 \]
Это всегда верно!
Ответ: неограниченно — все \(x\), т.к. неравенство верно для всех \(x\).
10. \( \frac{x+1}{2} - \frac{x-3}{3} > 2 + \frac{x}{6} \)
Объединим в общий знаменатель 6:
\[ \frac{3(x+1)}{6} - \frac{2(x-3)}{6} > 2 + \frac{x}{6} \]
\[ \frac{3x + 3 - 2x + 6}{6} > 2 + \frac{x}{6} \]
Упростим:
[ \frac{x + 9}{6
