4. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: дуга ВС=134°

Давайте разберемся с задачей поэтапно. **Дано:** - В окружности вписан треугольник \( ABC \). - Отрезок \( AB \) — диаметр окружности. - Дуго́й \( BC \) соответствует угол у вершины \( A \). - Дуга \( BC = 134^\circ \). --- ### Шаг 1: Свойства окружности, связанные с диампером - Так как \( AB \) — диаметр, то **угол при вершине \( C \)** (то есть угол \( \angle ACB \)) **равен 90°** (так как угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым). **Итак**, у нас есть: \[ \angle ACB = 90^\circ \] --- ### Шаг 2: Связь дуги и углов - В окружности: \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \text{Междукромной дуги, на которую опирается этот угол.} \] То есть, дуга \( AB \), на которую опирается \( \angle ACB \), должна в два раза превышать этот угол: \[ \text{Междукромная дуга } AB = 2 \times \angle ACB = 2 \times 90^\circ = 180^\circ \] Но важно понять, какие дуги соответствуют остальным углам. --- ### Шаг 3: Определение дуги \( BC \) Дано: дуга \( BC = 134^\circ \). Поскольку дуга \( BC \) — это дуга, которая **непрерывно соединяет точки \( B \) и \( C \)**, то дуга \( BC \) — это часть окружности. Итак, у нас есть: \[ \text{Дуга } BC = 134^\circ \] --- ### Шаг 4: Связь дуги \( BC \) и углов - Угол у вершины \( A \), то есть \( \angle BAC \), равен половине дуги \( BC \), которая не содержит \( A \). - Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, если он не включает в себя точку, противоположную этому углу. --- ### Шаг 5: Найти дуги \( AB \), \( AC \) - Вся окружность — 360°, а дуга \( AB = 180^\circ \) (так как \( AB \) — диаметр). - Дуга \( BC \) равна 134°, осталось определить дугу \( AC \). Дуга \( ABC \) (по дугам): \[ \text{дуга } ABC = \text{дуга } AB + \text{дуга } BC = 180^\circ + 134^\circ = 314^\circ \] Поскольку полная окружность — 360°, длина дуги \(\text{AC}\): \[ \text{дуга } AC = 360^\circ - 314^\circ = 46^\circ \] --- ### Шаг 6: Определение углов треугольника - Угол у вершины \( A \): Поскольку \( \angle A \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \): \[ \angle A = \frac{1}{2} \text{дуги } BC = \frac{1}{2} \times 134^\circ = 67^\circ \] - Угол у вершины \( B \): Он опирается на дугу \( AC \): \[ \angle B = \frac{1}{2} \times \text{дуги } AC = \frac{1}{2} \times 46^\circ = 23^\circ \] - Угол у вершины \( C \): Он опирается на дугу \( AB \) (диаметр, то есть 180°), но так как везде уже есть дуговое выражение для остальных углов, reminders: \[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 67^\circ - 23^\circ = 90^\circ \] Но лучше проверить сразу: \[ \angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } AB \] Поскольку \( AB \) — диаметр, то: \[ \angle C = 90^\circ \] Это подтверждает, что противоположный угол (вершина \( C \)) — прямой. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \begin{aligned} &\angle A \approx 67^\circ, \\ &\angle B \approx 23^\circ, \\ &\angle C = 90^\circ \end{aligned} } \] --- Если нужно, могу дополнительно объяснить шаги более подробно.