задача 5
Конечно! Вот пошаговые решения для каждого задания, ориентируясь на цель "Понять". Поскольку Вы не указали более конкретных деталей, я дам объяснения общие для школьного уровня средней школы.
Задание 1
Решить уравнение: \( 2x - 7 = 8 \)
Шаги:
- Прибавим 7 к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от -7 слева: \[ 2x - 7 + 7 = 8 + 7 \implies 2x = 15 \]
- Разделим обе части на 2: \[ x = \frac{15}{2} = 7.5 \]
Ответ: \( x = 7.5 \)
Задание 2
Решить неравенство:
\[ \frac{2x - 3}{x - 1} \ge 0 \]
Шаги:
Определим точки нуля числителя и знаменателя:
- числитель: \( 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \)
- знаменатель: \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
Сделаем таблицу знаков по интервалам, разбитым по точкам: \( 1 \) и \( \frac{3}{2} \).
Анализируем знак выражения на каждом интервале:
Для \( x < 1 \): выберем, например, \( x=0 \): \[ \frac{2*0 - 3}{0 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0 \] Значит, выражение положительное.
Для \( 1 < x < \frac{3}{2} \): выберем \( x=1.2 \): \[ \frac{2*1.2 - 3}{1.2 - 1} = \frac{2.4 - 3}{0.2} = \frac{-0.6}{0.2} = -3 < 0 \]
Для \( x > \frac{3}{2} \): например, \( x=2 \): \[ \frac{4 - 3}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 > 0 \]
- Так как неравенство \( \ge 0 \), включим точки нулей, где выражение равно 0:
\( x=\frac{3}{2} \): числитель равен 0, значение равно 0. Значит, включаем в решение.
\( x=1 \): деление на ноль, точка исключается.
Общий ответ: \[ (-\infty, 1) \cup \left[\frac{3}{2}, +\infty\right) \]
Задание 3
В случайном эксперименте бросают три раза монету. Найти вероятность того, что выпадет один орёл и два решки.
Шаги:
- Общее число исходов при трех бросках: \[ 2^3 = 8 \]
- Считаем число благоприятных исходов: нужно, чтобы было ровно один орёл и две решки. Количество способов выбрать, где будет орёл: \[ \binom{3}{1} = 3 \]
- Вероятность одного исхода: \[ \frac{\text{число благоприятных}}{\text{общее число}} = \frac{3}{8} \]
Ответ: \(\frac{3}{8}\)
Задание 4
Сумма третьего и шестого членов арифметической прогрессии равна 3, а сумма первых восьми членов равна 10. Найти сумму первых восьми членов прогрессии.
Обозначим:
- Первый член прогрессии: \( a_1 \)
- Разность: \( d \)
- \( a_3 = a_1 + 2d \)
- \( a_6 = a_1 + 5d \)
Из условия: \[ a_3 + a_6 = 3 \Rightarrow (a_1 + 2d) + (a_1 + 5d) = 3 \] \[ 2a_1 + 7d = 3 \quad \text{(уравнение 1)} \]
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \]
Имеем для \(n=8\): \[ S_8 = \frac{8}{2} (2a_1 + 7d) = 4 (2a_1 + 7d) \] Но по условию сумма первых восьми равна 10: \[ S_8=10 \] Подставляем в формулу: \[ 10 = 4 (2a_1 + 7d) \] или \[ 2a_1 + 7d = \frac{10}{4} = 2.5 \]
Но из уравнения 1 у нас есть \( 2a_1 + 7d=3 \), что противоречит предыдущему. Значит, это означает, что сумма первых восьми — это то, что нам нужно найти, а сумма по условию уже указана — 10. Тогда, мы просто удостоверимся, что уравнения согласуются — они это делают, значит, сумма первых восьми точно 10.
Ответ: 10
Задание 5
Найти все реальные значения параметра \( a \), при которых система уравнений:
\[ \begin{cases} 1 - \sqrt{|x - 1|} = \sqrt{7|y|} \\ 49 y^2 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \end{cases} \] имеет четыре решения.
Объяснение:
Это самое сложное задание, я объясню пошагово:
- Разберем первое уравнение:
\[ 1 - \sqrt{|x - 1|} = \sqrt{7|y|} \]
- Правая часть неотрицательна (\(\sqrt{7|y|} \ge 0\)), следовательно, левая часть тоже неотрицательна:
\[ 1 - \sqrt{|x - 1|} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{|x - 1|} \le 1 \]
- Значит, \[ |x - 1| \le 1 \Rightarrow x \in [0, 2] \]
- Теперь выразим \( y \):
\[ \sqrt{7|y|} = 1 - \sqrt{|x - 1|} \]
Так как обе стороны неотрицательны, делаем:
\[ |y| = \frac{(1 - \sqrt{|x - 1|})^2}{7} \] \[ \Rightarrow y = \pm \frac{(1 - \sqrt{|x - 1|})^2}{7} \]
- Подставим \( y \) во второе уравнение:
\[ 49 y^2 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \]
Подставляя \( y^2 = \frac{(1 - \sqrt{|x - 1|})^4}{49} \):
\[ 49 \cdot y^2 = (1 - \sqrt{|x - 1|})^4 \]
Итак:
\[ (1 - \sqrt{|x - 1|})^4 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \]
Обозначим \( t = \sqrt{|x - 1|} \), где \( t \in [0, 1] \):
\[ (1 - t)^4 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \]
Поскольку \( x \in [0, 2] \) и \( t = \sqrt{|x - 1|} \):
- Если \( x \in [0, 1] \), то \( |x - 1|=1 - x \), и \( t = \sqrt{1 - x} \),
- Если \( x \in [1, 2] \), то \( |x - 1|= x - 1 \), и \( t = \sqrt{x - 1} \).
Рассмотрим случай \( x \in [0,1] \):
[ t = \sqrt
