Задача 5

Конечно! Вот пошаговые решения для каждого задания, ориентируясь на цель "Понять". Поскольку Вы не указали более конкретных деталей, я дам объяснения общие для школьного уровня средней школы. --- ### Задание 1 **Решить уравнение: \( 2x - 7 = 8 \)** **Шаги:** 1. Прибавим 7 к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от -7 слева: \[ 2x - 7 + 7 = 8 + 7 \implies 2x = 15 \] 2. Разделим обе части на 2: \[ x = \frac{15}{2} = 7.5 \] **Ответ:** \( x = 7.5 \) --- ### Задание 2 **Решить неравенство:** \[ \frac{2x - 3}{x - 1} \ge 0 \] **Шаги:** 1. Определим точки нуля числителя и знаменателя: - числитель: \( 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \) - знаменатель: \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) 2. Сделаем таблицу знаков по интервалам, разбитым по точкам: \( 1 \) и \( \frac{3}{2} \). 3. Анализируем знак выражения на каждом интервале: - Для \( x < 1 \): выберем, например, \( x=0 \): \[ \frac{2*0 - 3}{0 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0 \] Значит, выражение положительное. - Для \( 1 < x < \frac{3}{2} \): выберем \( x=1.2 \): \[ \frac{2*1.2 - 3}{1.2 - 1} = \frac{2.4 - 3}{0.2} = \frac{-0.6}{0.2} = -3 < 0 \] - Для \( x > \frac{3}{2} \): например, \( x=2 \): \[ \frac{4 - 3}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 > 0 \] 4. Так как неравенство \( \ge 0 \), включим точки нулей, где выражение равно 0: - \( x=\frac{3}{2} \): числитель равен 0, значение равно 0. Значит, включаем в решение. - \( x=1 \): деление на ноль, точка исключается. **Общий ответ:** \[ (-\infty, 1) \cup \left[\frac{3}{2}, +\infty\right) \] --- ### Задание 3 **В случайном эксперименте бросают три раза монету. Найти вероятность того, что выпадет один орёл и два решки.** **Шаги:** 1. Общее число исходов при трех бросках: \[ 2^3 = 8 \] 2. Считаем число благоприятных исходов: нужно, чтобы было ровно один орёл и две решки. Количество способов выбрать, где будет орёл: \[ \binom{3}{1} = 3 \] 3. Вероятность одного исхода: \[ \frac{\text{число благоприятных}}{\text{общее число}} = \frac{3}{8} \] **Ответ:** \(\frac{3}{8}\) --- ### Задание 4 **Сумма третьего и шестого членов арифметической прогрессии равна 3, а сумма первых восьми членов равна 10. Найти сумму первых восьми членов прогрессии.** Обозначим: - Первый член прогрессии: \( a_1 \) - Разность: \( d \) 1. \( a_3 = a_1 + 2d \) 2. \( a_6 = a_1 + 5d \) Из условия: \[ a_3 + a_6 = 3 \Rightarrow (a_1 + 2d) + (a_1 + 5d) = 3 \] \[ 2a_1 + 7d = 3 \quad \text{(уравнение 1)} \] 3. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \] 4. Имеем для \(n=8\): \[ S_8 = \frac{8}{2} (2a_1 + 7d) = 4 (2a_1 + 7d) \] Но по условию сумма первых восьми равна 10: \[ S_8=10 \] Подставляем в формулу: \[ 10 = 4 (2a_1 + 7d) \] или \[ 2a_1 + 7d = \frac{10}{4} = 2.5 \] Но из уравнения 1 у нас есть \( 2a_1 + 7d=3 \), что противоречит предыдущему. Значит, это означает, что сумма первых восьми — это то, что нам нужно найти, а сумма по условию уже указана — 10. Тогда, мы просто удостоверимся, что уравнения согласуются — они это делают, значит, сумма первых восьми точно 10. **Ответ:** 10 --- ### Задание 5 **Найти все реальные значения параметра \( a \), при которых система уравнений:** \[ \begin{cases} 1 - \sqrt{|x - 1|} = \sqrt{7|y|} \\ 49 y^2 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \end{cases} \] **имеет четыре решения.** **Объяснение:** Это самое сложное задание, я объясню пошагово: 1. Разберем первое уравнение: \[ 1 - \sqrt{|x - 1|} = \sqrt{7|y|} \] - Правая часть неотрицательна (\(\sqrt{7|y|} \ge 0\)), следовательно, левая часть тоже неотрицательна: \[ 1 - \sqrt{|x - 1|} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{|x - 1|} \le 1 \] - Значит, \[ |x - 1| \le 1 \Rightarrow x \in [0, 2] \] 2. Теперь выразим \( y \): \[ \sqrt{7|y|} = 1 - \sqrt{|x - 1|} \] Так как обе стороны неотрицательны, делаем: \[ |y| = \frac{(1 - \sqrt{|x - 1|})^2}{7} \] \[ \Rightarrow y = \pm \frac{(1 - \sqrt{|x - 1|})^2}{7} \] 3. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ 49 y^2 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \] Подставляя \( y^2 = \frac{(1 - \sqrt{|x - 1|})^4}{49} \): \[ 49 \cdot y^2 = (1 - \sqrt{|x - 1|})^4 \] Итак: \[ (1 - \sqrt{|x - 1|})^4 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \] Обозначим \( t = \sqrt{|x - 1|} \), где \( t \in [0, 1] \): \[ (1 - t)^4 + x^2 + 4a - 2x - 1 = 0 \] Поскольку \( x \in [0, 2] \) и \( t = \sqrt{|x - 1|} \): - Если \( x \in [0, 1] \), то \( |x - 1|=1 - x \), и \( t = \sqrt{1 - x} \), - Если \( x \in [1, 2] \), то \( |x - 1|= x - 1 \), и \( t = \sqrt{x - 1} \). Рассмотрим случай \( x \in [0,1] \): \[ t = \sqrt