Задача 2

Конечно! Вот подробное решение задачи №2 из теста: --- **Задача 2:** Решить неравенство: \[ \frac{2x-3}{x^2 - 4} \geq 0 \] --- ### Шаг 1: Анализ выражения Выражение: \[ \frac{2x - 3}{x^2 - 4} \] Область определения: Делитель не равен нулю, поэтому: \[ x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2 \] Т.к. в числителе и знаменателе есть полинумы, их нули могут разбить область определения. --- ### Шаг 2: Нули числителя и знаменателя - Ноль числителя: \[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \] - Нули знаменателя: \[ x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \] Область определения: \[ x \neq 2, \quad x \neq -2 \] Поскольку неравенство нестрогое, ищем значения, при которых выражение ≥ 0. --- ### Шаг 3: Исследование знака выражения Разобьём числитель и знаменатель на множители: \[ \frac{2x - 3}{(x - 2)(x + 2)} \] Область разбивается точками: \[ x = -2, \quad x = \frac{3}{2}, \quad x = 2 \] Разделим числовую ось на четыре промежутка: - \((-\infty, -2)\) - \((-2, \frac{3}{2})\) - \((\frac{3}{2}, 2)\) - \((2, +\infty)\) На каждом промежутке определим знак выражения. --- ### Шаг 4: Анализ знаков на промежутках Используем знак каждого множителя: | точка | знак \((x-2)\) | знак \((x+2)\) | знак \((2x-3)\) | итоговое \(\frac{2x-3}{(x-2)(x+2)}\) | |--------------|----------------|----------------|----------------|-------------------------------------| | \(x < -2\) | (-) | (-) | отрицательное (если \(x< \frac{3}{2}\)) — для \(x < -2 \ установить) | **плюс** | | \(-2 < x < \frac{3}{2}\) | (+) | (-) | отрицательное или положительное? \((2x-3)\) — зависит от \(x\). Например, в точке \(x=0\): \(2*0 - 3 = -3 < 0\) — отрицательное. В целом, для \( x < \frac{3}{2} \), \(2x-3 < 0\) | здесь нужно конкретнее, так как в промежутке есть точки, где \(2x-3\) меняет знак. — | \(\frac{3}{2} < x < 2\) | (+) | (-) | (+) или (-), зависит от \(x\). Например, в начале этого интервала (ближко к \(\frac{3}{2}\)) — \(2x - 3\) чуть больше нуля, затем в зоне близко к 2 — значимое. В общем, она + или - — нужно уточнить. | \(x > 2\) | (+) | (+) | (+) | итог: знак + / - в зависимости от \(2x-3\). В \(x > 2\), \(2x - 3 > 0\). --- ### Шаг 5: Ответы по знакам и неравенство Нам нужно выражение **больше или равно 0**, то есть: \[ \frac{2x - 3}{(x - 2)(x + 2)} \geq 0 \] Включая случай равенства, где числитель равен нулю: \(2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\). --- ### Итоговые решения: - В точке \(x = \frac{3}{2}\), выражение равно 0, входит в решение. - На промежутках, где знак positivo, включаем их. **Области, где выражение ≥ 0:** - Включаем точку \(x = \frac{3}{2}\). - Не включаем точки \(x=2, -2\), так как делитель равен нулю. --- ### Итоговый ответ: \[ x \in (-\infty, -2) \cup \left[\frac{3}{2}, 2 \right) \] Потому что для \(x \in (-\infty, -2)\), знак выражения положительный (на основании анализа знаков), для \(\frac{3}{2}\), значение равно нулю, и для интервала от \(\frac{3}{2}\) до 2 — знак положительный, но в конце, при \(x=2\), делитель равен нулю, исключаем. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \textbf{x} \in (-\infty, -2) \cup \left[\frac{3}{2}, 2 \right) } \] --- Если потребуется более подробное объяснение каждого шага или анализ знаков, я готов помочь!