задача 2
Конечно! Вот подробное решение задачи №2 из теста:
Задача 2:
Решить неравенство:
\[
\frac{2x-3}{x^2 - 4} \geq 0
\]
Шаг 1: Анализ выражения
Выражение:
\[
\frac{2x - 3}{x^2 - 4}
\]
Область определения:
Делитель не равен нулю, поэтому:
\[
x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2
\]
Т.к. в числителе и знаменателе есть полинумы, их нули могут разбить область определения.
Шаг 2: Нули числителя и знаменателя
Ноль числителя:
\[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \]Нули знаменателя:
\[ x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \]
Область определения:
\[
x \neq 2, \quad x \neq -2
\]
Поскольку неравенство нестрогое, ищем значения, при которых выражение ≥ 0.
Шаг 3: Исследование знака выражения
Разобьём числитель и знаменатель на множители:
\[ \frac{2x - 3}{(x - 2)(x + 2)} \]
Область разбивается точками:
\[
x = -2, \quad x = \frac{3}{2}, \quad x = 2
\]
Разделим числовую ось на четыре промежутка:
- \((-\infty, -2)\)
- \((-2, \frac{3}{2})\)
- \((\frac{3}{2}, 2)\)
- \((2, +\infty)\)
На каждом промежутке определим знак выражения.
Шаг 4: Анализ знаков на промежутках
Используем знак каждого множителя:
| точка | знак \((x-2)\) | знак \((x+2)\) | знак \((2x-3)\) | итоговое \(\frac{2x-3}{(x-2)(x+2)}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x < -2\) | (-) | (-) | отрицательное (если \(x< \frac{3}{2}\)) — для \(x < -2 \ установить) | **плюс** | | \(-2 < x < \frac{3}{2}\) | (+) |
| \(\frac{3}{2} < x < 2\) | (+) | (-) | (+) или (-), зависит от \(x\). Например, в начале этого интервала (ближко к \(\frac{3}{2}\)) — \(2x - 3\) чуть больше нуля, затем в зоне близко к 2 — значимое. В общем, она + или - — нужно уточнить. | |
| \(x > 2\) | (+) | (+) | (+) | итог: знак + / - в зависимости от \(2x-3\). В \(x > 2\), \(2x - 3 > 0\). |
Шаг 5: Ответы по знакам и неравенство
Нам нужно выражение больше или равно 0, то есть:
\[ \frac{2x - 3}{(x - 2)(x + 2)} \geq 0 \] Включая случай равенства, где числитель равен нулю: \(2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\).
Итоговые решения:
- В точке \(x = \frac{3}{2}\), выражение равно 0, входит в решение.
- На промежутках, где знак positivo, включаем их.
Области, где выражение ≥ 0:
- Включаем точку \(x = \frac{3}{2}\).
- Не включаем точки \(x=2, -2\), так как делитель равен нулю.
Итоговый ответ:
\[ x \in (-\infty, -2) \cup \left[\frac{3}{2}, 2 \right) \]
Потому что для \(x \in (-\infty, -2)\), знак выражения положительный (на основании анализа знаков), для \(\frac{3}{2}\), значение равно нулю, и для интервала от \(\frac{3}{2}\) до 2 — знак положительный, но в конце, при \(x=2\), делитель равен нулю, исключаем.
Ответ:
\[ \boxed{ \textbf{x} \in (-\infty, -2) \cup \left[\frac{3}{2}, 2 \right) } \]
Если потребуется более подробное объяснение каждого шага или анализ знаков, я готов помочь!
