решите систему уравнения 3x+4y=24 xy=12
Давайте решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 3x + 4y = 24 \quad (1) \\ xy = 12 \quad (2) \end{cases} \]
Цель — понять, как найти решение этой системы подробно и пошагово.
Шаг 1: выразим один из переменных через другую
Из второго уравнения (2):
\[ xy = 12 \]
можно выразить \( y \):
\[ y = \frac{12}{x} \]
Шаг 2: подставим выражение для \( y \) в первое уравнение
Подставим \( y = \frac{12}{x} \) в уравнение (1):
\[ 3x + 4 \left( \frac{12}{x} \right) = 24 \]
Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на \( x \):
\[ 3x^2 + 4 \times 12 = 24x \]
или
\[ 3x^2 + 48 = 24x \]
Шаг 3: преобразуем полученное уравнение
Перенесем всё в одну сторону:
\[ 3x^2 - 24x + 48 = 0 \]
Разделим всё уравнение на 3, чтобы упростить:
\[ x^2 - 8x + 16 = 0 \]
Шаг 4: решим квадратичное уравнение
Уравнение:
\[ x^2 - 8x + 16 = 0 \]
Это квадратичное уравнение, дискриминант:
\[ D = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 16 = 64 - 64 = 0 \]
Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один единственный корень:
\[ x = \frac{8}{2} = 4 \]
Шаг 5: найдём соответствующее значение \( y \)
Подставим \( x = 4 \) в выражение для \( y \):
\[ y = \frac{12}{4} = 3 \]
Итог:
Решение системы:
\[ \boxed{ \begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases} } \]
Вы можете проверить подставив эти значения обратно в исходные уравнения:
- \( 3 \times 4 + 4 \times 3 = 12 + 12 = 24 \) — верно.
- \( 4 \times 3 = 12 \) — верно.
Если есть вопросы или нужно подробнее объяснить какой-то шаг — спрашивайте!
