треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 15$, $BC = 20$. Точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$ так, что $AD = DB$. Найдите длину отрезка $CD$.

Давайте подробно разберем задачу и найдём длину отрезка \( CD \).

Шаг 1. Итак, у нас есть треугольник \( ABC \) с углом \( C = 90^\circ \),

• \( AC = 15 \)
• \( BC = 20 \)

Точка \( D \) — середина гипотенузы \( AB \), то есть \( D \) — это точка, на которой \( AD = DB \).

Шаг 2. Найти длину гипотенузы \( AB \)

Так как \( \triangle ABC \) — прямоугольный, по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25. \]

Шаг 3. Определить точку \( D \)

Так как \( D \) — середина гипотенузы \( AB \), то: \[ AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{25}{2} = 12,5. \]

Теперь известно, что \( D \) — это серединная точка \( AB \), расположенная на прямой \( AB \).

Шаг 4. Найти координаты точек

Для удобства поставим точку \( C \) в начале координат: \[ C = (0, 0). \]

Пусть:

• \( A \) лежит на оси \( x \) в точке \( (15, 0) \), потому что \( AC = 15 \).
• \( B \) лежит на оси \( y \) в точке \( (0, 20) \), потому что \( BC=20 \).

Теперь проверим: \[ A = (15, 0), \quad B = (0, 20). \] Длина \( AB \): \[ AB = \sqrt{(15-0)^2 + (0-20)^2} = \sqrt{225 + 400} = 25, \] что соответствует условию.

Шаг 5. Найти координаты точки \( D \)

Так как \( D \) — середина \( AB \): \[ D_x = \frac{15 + 0}{2} = 7.5, \] \[ D_y = \frac{0 + 20}{2} = 10. \] Итак, \[ D = (7.5, 10). \]

Шаг 6. Найти длину \( CD \)

Теперь осталось найти расстояние между точками: \[ C = (0,0), \quad D = (7.5, 10). \]

Расстояние \( CD \): \[ CD = \sqrt{(7.5 - 0)^2 + (10 - 0)^2} = \sqrt{7.5^2 + 10^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5. \]

Ответ:

\[ \boxed{12.5} \]

Длина отрезка \( CD \) равна 12.5.