Давайте подробно разберем задачу и найдём длину отрезка ( CD ).
Шаг 1. Итак, у нас есть треугольник ( ABC ) с углом ( C = 90^\circ ),
Точка ( D ) — середина гипотенузы ( AB ), то есть ( D ) — это точка, на которой ( AD = DB ).
Шаг 2. Найти длину гипотенузы ( AB )
Так как ( \triangle ABC ) — прямоугольный, по теореме Пифагора:
[
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25.
]
Шаг 3. Определить точку ( D )
Так как ( D ) — середина гипотенузы ( AB ), то:
[
AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{25}{2} = 12,5.
]
Теперь известно, что ( D ) — это серединная точка ( AB ), расположенная на прямой ( AB ).
Шаг 4. Найти координаты точек
Для удобства поставим точку ( C ) в начале координат:
[
C = (0, 0).
]
Пусть:
- ( A ) лежит на оси ( x ) в точке ( (15, 0) ), потому что ( AC = 15 ).
- ( B ) лежит на оси ( y ) в точке ( (0, 20) ), потому что ( BC=20 ).
Теперь проверим:
[
A = (15, 0), \quad B = (0, 20).
]
Длина ( AB ):
[
AB = \sqrt{(15-0)^2 + (0-20)^2} = \sqrt{225 + 400} = 25,
]
что соответствует условию.
Шаг 5. Найти координаты точки ( D )
Так как ( D ) — середина ( AB ):
[
D_x = \frac{15 + 0}{2} = 7.5,
]
[
D_y = \frac{0 + 20}{2} = 10.
]
Итак,
[
D = (7.5, 10).
]
Шаг 6. Найти длину ( CD )
Теперь осталось найти расстояние между точками:
[
C = (0,0), \quad D = (7.5, 10).
]
Расстояние ( CD ):
[
CD = \sqrt{(7.5 - 0)^2 + (10 - 0)^2} = \sqrt{7.5^2 + 10^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5.
]
Ответ:
[
\boxed{12.5}
]
Длина отрезка ( CD ) равна 12.5.
