Здравствуйте! Предлагаю вам пошаговые решения для каждой из задач. Поскольку цель — понять, я буду подробно объяснять каждый этап. Начинаем!
Задача 1
Упростите выражение:
2m+1 1 2m-a) 2m+1 2m-1 : 4m +110m-5'
Похоже, в условии есть опечатки или ошибка в формате. Предположим, что имеется в виду следующее выражение:
[
\frac{(2m + 1)(2m - a)}{(2m + 1)(2m - 1)} : (4m + 110m - 5)
]
Для этого выполню упрощение.
Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель дроби:
[
\frac{(2m + 1)(2m - a)}{(2m + 1)(2m - 1)}
]
Можно сократить (2m + 1):
[
= \frac{2m - a}{2m - 1}
]
Шаг 2: Запишем выражение с делением:
[
\frac{2m - a}{2m - 1} \div (4m + 110m - 5)
]
или же:
[
= \frac{2m - a}{2m - 1} \times \frac{1}{4m + 110m - 5}
]
Объединим воедино:
[
= \frac{2m - a}{(2m - 1)(4m + 110m - 5)}
]
Шаг 3: упростим выражение в знаменателе (4m + 110m - 5):
[
4m + 110m - 5 = 114m - 5
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{2m - a}{(2m - 1)(114m - 5)}
}
]
Задача 2
Упростите выражение:
[
\frac{x+3}{x^2 + 9} \times \left( \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} \right)
]
Шаг 1: Обнаружим сумму внутри скобок:
[
\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3}
]
Произведем сложение двух дробей со знаменателями ((x - 3)) и ((x + 3)):
Общий знаменатель:
[
(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9
]
Перепишем обе дроби с общим знаменателем:
[
\frac{(x+3)^2}{x^2 - 9} + \frac{(x-3)^2}{x^2 - 9}
]
Теперь сложим числители:
[
\frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{x^2 - 9}
]
Посчитаем числители:
[
(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9
]
[
(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9
]
Складываем:
[
x^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9 = 2x^2 + 18
]
Получаем:
[
\frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9}
]
Факторизуем числитель и знаменатель:
[
2x^2 + 18 = 2(x^2 + 9)
]
[
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
]
Итак, сумма:
[
\frac{2(x^2 + 9)}{(x - 3)(x + 3)}
]
Шаг 2: Теперь умножим исходное выражение:
[
\frac{x+3}{x^2 + 9} \times \frac{2(x^2 + 9)}{(x - 3)(x + 3)}
]
Обратите внимание, что есть ((x^2 + 9)) в числителе и знаменателе — они сократятся:
[
= \frac{x+3}{1} \times \frac{2}{(x - 3)(x + 3)}
]
Далее, сократим (x + 3):
[
= (x + 3) \times \frac{2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2}{x - 3}
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{2}{x - 3}
}
]
Задача 3
Упростите выражение:
[
\frac{a^2 - 9}{2a^2 + 1} \times \left( \frac{6a + 1}{a - 3} + \frac{6a - 1}{a + 3} \right)
]
Шаг 1: Упростим сумму внутри скобок, как было сделано ранее.
Общий знаменатель:
[
(a - 3)(a + 3) = a^2 - 9
]
Перепишем каждую дробь:
[
\frac{6a + 1}{a - 3} = \frac{(6a + 1)(a + 3)}{a^2 - 9}
]
[
\frac{6a - 1}{a + 3} = \frac{(6a - 1)(a - 3)}{a^2 - 9}
]
Складываем числители:
[
(6a + 1)(a + 3) + (6a - 1)(a - 3)
]
Рассчитаем оба:
[
(6a + 1)(a + 3) = 6a \times a + 6a \times 3 + 1 \times a + 1 \times 3 = 6a^2 + 18a + a + 3 = 6a^2 + 19a + 3
]
[
(6a - 1)(a - 3) = 6a \times a - 6a \times 3 - 1 \times a + 1 \times 3 = 6a^2 - 18a - a + 3 = 6a^2 - 19a + 3
]
Теперь сложим:
[
6a^2 + 19a + 3 + 6a^2 - 19a + 3 = 12a^2 + 6
]
Общий знаменатель (a^2 - 9).
Итак, сумма внутри скобок:
[
\frac{12a^2 + 6}{a^2 - 9}
]
Вынесем 6 за скобки в числителе:
[
= \frac{6(2a^2 +1)}{a^2 - 9}
]
Шаг 2: Теперь умножим исходное выражение:
[
\frac{a^2 - 9}{2a^2 + 1} \times \frac{6(2a^2 + 1)}{a^2 - 9}
]
Обратите внимание: (a^2 - 9 = (a-3)(a+3)), и это есть в числителе и знаменателе — они сокращаются, также (2a^2 + 1) сократится:
[
= 1 \times 6 = 6
]
Ответ:
[
\boxed{
6
}
]
Если есть ещё задачи или нужно решение других выражений — пишите!
