Цилиндр радиусом 5 см и высотой 15 см стоит на горизонтальном дне сосуда, заполненного водой до высоты 10 см. Вода под основание цилиндра не подтекает. Определите силу, с которой…
Цилиндр радиусом 5 см и высотой 15 см стоит на горизонтальном дне сосуда, заполненного водой до высоты 10 см. Вода под основание цилиндра не подтекает. Определите силу, с которой вода действует на цилиндр. Ответ дайте в Н, округлив до десятых. Плотность воды 1 г/см3 . Ускорение свободного падения 10 м/с2 . Атмосферное давление p0=105 Па.
Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Дано:
- Радиус цилиндра \( r = 5\, \text{см} \)
- Высота цилиндра \( h_{цилиндра} = 15\, \text{см} \)
- Высота воды в сосуде \( h_{воды} = 10\, \text{см} \)
- Плотность воды \( \rho = 1\, \text{г/см}^3 \)
- Ускорение свободного падения \( g = 10\, \text{м/с}^2 \)
- Атмосферное давление \( p_0 = 10^5\, \text{Па} \)
Цель: определить силу, действующую на цилиндр со стороны воды.
Шаг 1: Понимание задачи
На цилиндр действует давление воды снизу и сверху. Но так как вода не подтекает, важна именно вертикальная составляющая силы давления воды, которое действует на поверхность цилиндра со стороны воды.
Поскольку цилиндр стоит на дне, и вода поддается давлению, сила, которую вода оказывает на цилиндр, равна интегралу давления по всей площади контактирующей поверхности.
Шаг 2: Определение давления воды на поверхности цилиндра
Давление воды меняется с глубиной по формуле:
\[ p = p_0 + \rho g h \]
где:
- \( p_0 \) — атмосферное давление
- \( \rho \) — плотность воды
- \( g \) — ускорение свободного падения
- \( h \) — глубина относительно поверхности воды
Поскольку высота воды 10 см, а цилиндр стоит на дне, давление на основание цилиндра достигает:
\[ p_{осн} = p_0 + \rho g h_{воды} \]
Шаг 3: Перевод единиц
Обеспечим однородность единиц:
- \( \rho = 1\, \text{г/см}^3 = 1000\, \text{кг/м}^3 \) (перевод: 1 г/см³ = 1000 кг/м³)
- \( h_{воды} = 10\, \textсм = 0.1\, \text{м} \)
Подставляем:
\[ p_{осн} = 10^5\, \text{Па} + 1000\, \text{кг/м}^3 \times 10\, \text{м/с}^2 \times 0.1\, \text{м} \]
Вычисляем:
\[ p_{осн} = 10^5 + 1000 \times 10 \times 0.1 = 10^5 + 1000\, \text{Па} = 101\,000\, \text{Па} \]
Шаг 4: Расчет силы
Чтобы найти силу, которая действует на цилиндр со стороны воды, нужно найти давление на его боковую поверхность и интегрировать.
Однако, так как давление меняется по высоте, рассмотрим давление на основании, затем учтём его вариацию по боковой области.
Для простоты, сила давления, действующая на боковую поверхность цилиндра, равна:
\[ F = \text{среднее давление} \times \text{площадь контактной поверхности} \]
Площадь боковой поверхности цилиндра:
\[ S = 2\pi r h_{цилиндра} \]
Подставим:
\[ r = 5\, \textсм = 0.05\, \text{м} \] \[ h_{цилиндра} = 15\, \textсм = 0.15\, \text{м} \]
\[ S = 2 \pi \times 0.05 \times 0.15 = 2 \times 3.1416 \times 0.05 \times 0.15 \approx 0.0471\, \text{м}^2 \]
Шаг 5: Определение среднего давления
Давление на верхней грани (при глубине 10 см) — \( p_{поверхности} = p_0 + \rho g h_{поверхности} \)
\[ p_{поверхности} = 10^5 + 1000 \times 10 \times 0.10 = 10^5 + 1000 = 101\,000\, \text{Па} \]
На основании — \( p_{осн} = 101\,000\, \text{Па} \)
Давление меняется по высоте от \( p_{поверхности} \) до \( p_{осн} \).
Среднее давление:
\[ p_{ср} = \frac{p_{поверхности} + p_{осн}}{2} = \frac{101\,000 + 101\,000}{2} = 101\,000\, \text{Па} \]
Так как давление по вертикали практически не меняется внутри воды в данном случае (так как высоты воды и цилиндра со страницы задачи), среднее давление равно верхнему и нижнему давлению.
Шаг 6: Расчет силы
Теперь:
\[ F = p_{ср} \times S = 101\,000\, \text{Па} \times 0.0471\, \text{м}^2 \]
\[ F \approx 101\,000 \times 0.0471 \approx 4\,752\, \text{Н} \]
Ответ: сила равна приблизительно 4752 Н, округленная до десятых — 4750.0 Н.
Итог:
Сила, с которой вода действует на цилиндр: \(\boxed{4750.0\, \text{Н}}\).
