Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Давайте разберем задачу поэтапно, чтобы понять, какой процент годовых после повышения банка. Обозначим: - \( P \) — первоначальный вклад - \( a \)% — первоначальная годовая ставка - После первого года сумма на счету: \( P \times (1 + \frac{a}{100}) \) Значит, после первого года на счете: \[ S_1 = P \left(1 + \frac{a}{100}\right) \] Затем, через год, четверть накопленной суммы снимается. Так как снимается четверть суммы на конец второго года, то остается три четверти: \[ S_2 = S_1 \times \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times \frac{3}{4} \] Но важно понять, что в условии говорится о том, что сумма, накопленная после второго полного года (после второго идущего за этим периода), увеличилась в 1,44 раза по сравнению с первоначалом. При этом ставка увеличивается на 40 процентных пунктов — это означает новая ставка: \[ a_{нов} = a + 40 \] На конец второго года, после увеличения ставки, сумма: \[ S_{конец} = S_{второй\,год} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right) \] И по условию: \[ S_{конец} = 1.44 P \] Обратите внимание, что снятие четверти суммы происходит после первого года и перед вторым, а также после этого — происходит рост за второй год по новому проценту. --- ### Пошаговое решение: ### 1. Разберем состояние после первого года: \[ S_1 = P \left(1 + \frac{a}{100}\right) \] ### 2. После того, как через год (после первого) была снята четверть суммы: Оставшаяся сумма: \[ S_{после\,снятия} = S_1 \times \frac{3}{4} \] ### 3. Второй год: За второй год сумма увеличивается по новой ставке \(\(a + 40\)% \). Сумма перед ростом: \[ S_{второй\,год} = S_{после\,снятия} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right) \] подставим: \[ S_{второй\,год} = P \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times \frac{3}{4} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right) \] ### 4. Итоговая сумма после второго года (после всего роста): Умножаем сумму после второго года на рост: \[ S_{итог} = S_{второй\,год} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right) \] Обратите внимание, что в условии, по сути, сумма после второго года — это сумма после роста по цене повышения: \[ S_{итог} = 1.44 P \] Итак, получим уравнение: \[ 1.44 P = P \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times \frac{3}{4} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right)^2 \] Рассмотрим деление обеих частей на \( P \): \[ 1.44 = \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times \frac{3}{4} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right)^2 \] Обозначим: \[ x = 1 + \frac{a}{100} \] Тогда: \[ 1 + \frac{a + 40}{100} = x + \frac{40}{100} = x + 0.4 \] Величина: \[ 1 + \frac{a + 40}{100} = x + 0.4 \] Теперь уравнение принимает вид: \[ 1.44 = x \times \frac{3}{4} \times (x + 0.4)^2 \] или \[ 1.44 = \frac{3}{4} \times x \times (x + 0.4)^2 \] Упростим уравнение: \[ 1.44 = 0.75 \times x \times (x + 0.4)^2 \] Разделим обе части на 0.75: \[ \frac{1.44}{0.75} = x \times (x + 0.4)^2 \] Вычислим левую часть: \[ \frac{1.44}{0.75} = \frac{1.44 \times 4}{3} = \frac{5.76}{3} = 1.92 \] Итак: \[ 1.92 = x \times (x + 0.4)^2 \] --- ### 5. Решение уравнения: Раскроем скобки: \[ 1.92 = x \times (x^2 + 2 \times 0.4 \times x + 0.4^2) = x \times (x^2 + 0.8x + 0.16) \] Раскрываем произведение: \[ 1.92 = x^3 + 0.8x^2 + 0.16x \] Перенесем все в одну сторону: \[ x^3 + 0.8x^2 + 0.16x - 1.92 = 0 \] --- ### 6. Решение кубического уравнения: Подозреваемое простое корень — это число, делитель 1.92. Попробуем \( x = 1 \): \[ 1 + 0.8 + 0.16 - 1.92 = 1 + 0.8 + 0.16 - 1.92 = 1.96 - 1.92 = 0.04 \neq 0 \] Пробуем \( x = 1.2 \): \[ (1.2)^3 + 0.8 \times (1.2)^2 + 0.16 \times 1.2 - 1.92 \] Вычислим: \[ 1.728 + 0.8 \times 1.44 + 0.192 - 1.92 = 1.728 + 1.152 + 0.192 - 1.92 \] Сложим числители: \[ 1.728 + 1.152 + 0.192 = 3.072 \] Вычитаем 1.92: \[ 3.072 - 1.92 = 1.152 \neq 0 \] Пробуем \( x = 1.1 \): \[ (1.1)^3 + 0.8 \times (1.1)^2 + 0.16 \times 1.1 - 1.92 \] Вычислим: \[ 1.331 + 0.8 \times 1.21 + 0.176 - 1.92 = 1.331 + 0.968 + 0.176 -1.92 \] Суммируем: \[ 1.331 + 0.968 + 0.176 = 2.475 \] Вычитаем 1.92: \[ 2.475 - 1.92 = 0.555 \neq 0 \] Пробуем \( x = 0.8 \): \[ 0.512 + 0.8 \times 0.64 + 0.16 \times 0.8 - 1.92 = 0.512 + 0.512 + 0.128 -1.92 \] Сумма числителей: \[ 0.512 + 0.512 + 0.128 = 1.152 \] Вычитаем: \[ 1.152 - 1.92 = -0.768 \neq 0 \] Отсюда видно, что корень находится между 0.8 и 1.1. Попробуем \( x= 1.05 \): \[ (1.05)^3 + 0.8 \times (1.05)^2 + 0.16 \times 1.05 - 1.92 \] \[ 1.1576 + 0.8 \times 1.1025 + 0.168 - 1.92 \] \[ 1.1576 + 0.882 + 0.168 - 1.92 = 2.2076 - 1.92 = 0.2876 \] Пробуем \( x= 0.9 \): \[ 0.729 + 0.8 \times 0.81 + 0.144 - 1.92 = 0.729 + 0.648 + 0.144 - 1.92 = 1.521 - 1.92 = -0.399 \] Итак, корень находится между 0.9 и 1.05. Пожалуйста, используем интерполяцию — примерно около 1. Когда \( x \approx 1 \): \[ x = 1 \] Обратимся к более точной формуле — по приблизительным остаткам: Поскольку при \( x=1 \): \[ 1.96 - 1.92 = 0.04 \] При \( x=1 \), значение равно очень близко к нулю, и — поскольку разность положительна, а при \( x=0.9 \) — отрицательна, то корень где-то около 1. ### 7. Итоговое значение: \[ x \approx 1 \] Значит: \[ x = 1 + \frac{a}{100} \approx 1 \Rightarrow \frac{a}{100} \approx 0 \] Итого: \[ a \approx 0\% \] Но учитывая, что точное решение по вышеизложенному — это примерно \(\boxed{a \approx 0\%}\), то есть первоначальная ставка примерно нулевая. --- ### **Ответ:** **Новые годовые проценты после повышения: \(\boxed{a + 40\%}\).** Исходя из приближения, если первоначальная ставка близка к нулю, то новая ставка: \[ a + 40 \approx 0 + 40 = \boxed{40\%} \] **Итак, ответ: процент новых годовых — около \(\boxed{40\%}\).**