Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть…

Давайте разберем задачу поэтапно, чтобы понять, какой процент годовых после повышения банка.

Обозначим:

• \( P \) — первоначальный вклад
• \( a \)% — первоначальная годовая ставка
• После первого года сумма на счету: \( P \times (1 + \frac{a}{100}) \)

Значит, после первого года на счете:

\[ S_1 = P \left(1 + \frac{a}{100}\right) \]

Затем, через год, четверть накопленной суммы снимается. Так как снимается четверть суммы на конец второго года, то остается три четверти:

\[ S_2 = S_1 \times \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times \frac{3}{4} \]

Но важно понять, что в условии говорится о том, что сумма, накопленная после второго полного года (после второго идущего за этим периода), увеличилась в 1,44 раза по сравнению с первоначалом. При этом ставка увеличивается на 40 процентных пунктов — это означает новая ставка:

\[ a_{нов} = a + 40 \]

На конец второго года, после увеличения ставки, сумма:

\[ S_{конец} = S_{второй\,год} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right) \]

И по условию:

\[ S_{конец} = 1.44 P \]

Обратите внимание, что снятие четверти суммы происходит после первого года и перед вторым, а также после этого — происходит рост за второй год по новому проценту.

---

Пошаговое решение:

1. Разберем состояние после первого года:

\[ S_1 = P \left(1 + \frac{a}{100}\right) \]

2. После того, как через год (после первого) была снята четверть суммы:

Оставшаяся сумма:

\[ S_{после\,снятия} = S_1 \times \frac{3}{4} \]

3. Второй год:

За второй год сумма увеличивается по новой ставке \(\(a + 40\)% ).

Сумма перед ростом:

\[ S_{второй\,год} = S_{после\,снятия} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right) \]

подставим:

\[ S_{второй\,год} = P \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times \frac{3}{4} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right) \]

4. Итоговая сумма после второго года (после всего роста):

Умножаем сумму после второго года на рост:

\[ S_{итог} = S_{второй\,год} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right) \]

Обратите внимание, что в условии, по сути, сумма после второго года — это сумма после роста по цене повышения:

\[ S_{итог} = 1.44 P \]

Итак, получим уравнение:

\[ 1.44 P = P \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times \frac{3}{4} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right)^2 \]

Рассмотрим деление обеих частей на \( P \):

\[ 1.44 = \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times \frac{3}{4} \times \left(1 + \frac{a + 40}{100}\right)^2 \]

Обозначим:

\[ x = 1 + \frac{a}{100} \]

Тогда:

\[ 1 + \frac{a + 40}{100} = x + \frac{40}{100} = x + 0.4 \]

Величина:

\[ 1 + \frac{a + 40}{100} = x + 0.4 \]

Теперь уравнение принимает вид:

\[ 1.44 = x \times \frac{3}{4} \times (x + 0.4)^2 \]

или

\[ 1.44 = \frac{3}{4} \times x \times (x + 0.4)^2 \]

Упростим уравнение:

\[ 1.44 = 0.75 \times x \times (x + 0.4)^2 \]

Разделим обе части на 0.75:

\[ \frac{1.44}{0.75} = x \times (x + 0.4)^2 \]

Вычислим левую часть:

\[ \frac{1.44}{0.75} = \frac{1.44 \times 4}{3} = \frac{5.76}{3} = 1.92 \]

Итак:

\[ 1.92 = x \times (x + 0.4)^2 \]

---

5. Решение уравнения:

Раскроем скобки:

\[ 1.92 = x \times (x^2 + 2 \times 0.4 \times x + 0.4^2) = x \times (x^2 + 0.8x + 0.16) \]

Раскрываем произведение:

\[ 1.92 = x^3 + 0.8x^2 + 0.16x \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^3 + 0.8x^2 + 0.16x - 1.92 = 0 \]

---

6. Решение кубического уравнения:

Подозреваемое простое корень — это число, делитель 1.92. Попробуем \( x = 1 \):

\[ 1 + 0.8 + 0.16 - 1.92 = 1 + 0.8 + 0.16 - 1.92 = 1.96 - 1.92 = 0.04 \neq 0 \]

Пробуем \( x = 1.2 \):

\[ (1.2)^3 + 0.8 \times (1.2)^2 + 0.16 \times 1.2 - 1.92 \]

Вычислим:

\[ 1.728 + 0.8 \times 1.44 + 0.192 - 1.92 = 1.728 + 1.152 + 0.192 - 1.92 \]

Сложим числители:

\[ 1.728 + 1.152 + 0.192 = 3.072 \]

Вычитаем 1.92:

\[ 3.072 - 1.92 = 1.152 \neq 0 \]

Пробуем \( x = 1.1 \):

\[ (1.1)^3 + 0.8 \times (1.1)^2 + 0.16 \times 1.1 - 1.92 \]

Вычислим:

\[ 1.331 + 0.8 \times 1.21 + 0.176 - 1.92 = 1.331 + 0.968 + 0.176 -1.92 \]

Суммируем:

\[ 1.331 + 0.968 + 0.176 = 2.475 \]

Вычитаем 1.92:

\[ 2.475 - 1.92 = 0.555 \neq 0 \]

Пробуем \( x = 0.8 \):

\[ 0.512 + 0.8 \times 0.64 + 0.16 \times 0.8 - 1.92 = 0.512 + 0.512 + 0.128 -1.92 \]

Сумма числителей:

\[ 0.512 + 0.512 + 0.128 = 1.152 \]

Вычитаем:

\[ 1.152 - 1.92 = -0.768 \neq 0 \]

Отсюда видно, что корень находится между 0.8 и 1.1. Попробуем \( x= 1.05 \):

\[ (1.05)^3 + 0.8 \times (1.05)^2 + 0.16 \times 1.05 - 1.92 \]

\[ 1.1576 + 0.8 \times 1.1025 + 0.168 - 1.92 \]

\[ 1.1576 + 0.882 + 0.168 - 1.92 = 2.2076 - 1.92 = 0.2876 \]

Пробуем \( x= 0.9 \):

\[ 0.729 + 0.8 \times 0.81 + 0.144 - 1.92 = 0.729 + 0.648 + 0.144 - 1.92 = 1.521 - 1.92 = -0.399 \]

Итак, корень находится между 0.9 и 1.05.

Пожалуйста, используем интерполяцию — примерно около 1.

Когда \( x \approx 1 \):

\[ x = 1 \]

Обратимся к более точной формуле — по приблизительным остаткам:

Поскольку при \( x=1 \):

\[ 1.96 - 1.92 = 0.04 \]

При \( x=1 \), значение равно очень близко к нулю, и — поскольку разность положительна, а при \( x=0.9 \) — отрицательна, то корень где-то около 1.

7. Итоговое значение:

\[ x \approx 1 \]

Значит:

\[ x = 1 + \frac{a}{100} \approx 1 \Rightarrow \frac{a}{100} \approx 0 \]

Итого:

\[ a \approx 0\% \]

Но учитывая, что точное решение по вышеизложенному — это примерно \(\boxed{a \approx 0\%}\), то есть первоначальная ставка примерно нулевая.

---

Ответ:

Новые годовые проценты после повышения: \(\boxed{a + 40\%}\).

Исходя из приближения, если первоначальная ставка близка к нулю, то новая ставка:

\[ a + 40 \approx 0 + 40 = \boxed{40\%} \]

Итак, ответ: процент новых годовых — около \(\boxed{40\%}\).