Рассмотрим выражение:
[ 2 \times 2 \times 2 \times 3^2 : 6^2 \times 3^4 ]
Шаг 1. Упростим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель:
[ 2 \times 2 \times 2 \times 3^2 ]
Так как ( 2 \times 2 \times 2 = 2^3 ), то:
[ 2^3 \times 3^2 ]
Знаменатель:
[ 6^2 \times 3^4 ]
Запишем (6^2) через простые множители:
[ 6 = 2 \times 3 ]
Тогда
[ 6^2 = (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 ]
Следовательно, знаменатель:
[ 2^2 \times 3^2 \times 3^4 ]
Объединим множители с одинаковыми основаниями:
[ 2^2 \times 3^{2 + 4} = 2^2 \times 3^6 ]
Шаг 2. Запишем весь пример в виде степеней:
[ \frac{2^3 \times 3^2}{2^2 \times 3^6} ]
Шаг 3. Используем свойства степеней для деления:
[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} ]
Получаем:
[ 2^{3 - 2} \times 3^{2 - 6} = 2^1 \times 3^{-4} ]
Шаг 4. Можно переписать с использованием отрицательной степени:
[ 2 \times \frac{1}{3^{4}} ]
Или однозначно:
[ \frac{2}{3^{4}} ]
Ответ:
[
\boxed{\frac{2}{3^{4}}}
]
или в числовом виде: approximately ( \frac{2}{81} ).
