ax²+(a+1)x+5a-1=0
Давайте решим уравнение квадратической формы:
\[ ax^2 + (a+1)x + 5a - 1 = 0 \]
Я подробно объясню каждый шаг, чтобы вы поняли, как его решить.
Шаг 1: Определим параметры
- \( a \) — параметр или коэффициент перед \( x^2 \);
- Мы ищем решение относительно \( x \).
Шаг 2: Рассмотрим условие — для каких значений \( a \) есть решения?
Так как уравнение квадратическое по \( x \), оно имеет решения, если его дискриминант неотрицателен:
\[ D \geq 0 \]
Дискриминант \( D \) для уравнения вида:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Здесь:
- \( a \) — коэффициент перед \( x^2 \);
- \( b = a + 1 \);
- \( c = 5a - 1 \).
Шаг 3: Вычислим дискриминант
Подставляя соответствующие значения:
\[ D = (a + 1)^2 - 4 \cdot a \cdot (5a - 1) \]
Раскроем скобки:
\[ D = (a^2 + 2a + 1) - 4a(5a - 1) \]
Раскроем второе слагаемое:
\[ D = a^2 + 2a + 1 - 4a \cdot 5a + 4a \cdot 1 \]
\[ D = a^2 + 2a + 1 - 20a^2 + 4a \]
Объединим подобные члены:
\[ D = (a^2 - 20a^2) + (2a + 4a) + 1 \]
\[ D = -19a^2 + 6a + 1 \]
Шаг 4: Условие на дискриминант
Чтобы уравнение имело решения, необходимо:
\[ D \geq 0 \]
Подставим выражение:
\[ -19a^2 + 6a + 1 \geq 0 \]
Это неравенство — квадратичное по \( a \).
Шаг 5: Решение неравенства
Перепишем:
\[ -19a^2 + 6a + 1 \geq 0 \]
Проще умножить обе части на \(-1\) и поменять знак неравенства (так как умножение на отрицательное число меняет знак):
\[ 19a^2 - 6a - 1 \leq 0 \]
Теперь решим квадратичное неравенство:
\[ 19a^2 - 6a - 1 \leq 0 \]
Шаг 6: Найдем корни уравнения \( 19a^2 - 6a - 1 = 0 \)
Общий вид:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
корни находятся по формуле:
\[ a = 19, \quad b = -6, \quad c = -1 \]
Дискриминант по \( a \):
\[ D_a = (-6)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-1) = 36 + 76 = 112 \]
Корни уравнения:
\[ a_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 19} \]
Упростим:
\[ \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4 \sqrt{7} \]
Итак,
\[ a_{1,2} = \frac{6 \pm 4 \sqrt{7}}{38} \]
Можем сократить:
\[ a_{1,2} = \frac{3 \pm 2 \sqrt{7}}{19} \]
Шаг 7: Интервал решения неравенства
Для квадратичной функции \( 19a^2 - 6a - 1 \), коэффициент перед \( a^2 \) положителен (19). Функция принимает отрицательные значения между корнями.
Следовательно, решение неравенства:
\[ 19a^2 - 6a - 1 \leq 0 \]
находится на интервале между корнями:
\[ a \in \left[ \frac{3 - 2 \sqrt{7}}{19}, \quad \frac{3 + 2 \sqrt{7}}{19} \right] \]
Итог:
Ответ:
Уравнение
\[ ax^2 + (a+1)x + 5a - 1 = 0 \]
имее решения по \( x \) при условии, что \( a \) лежит в интервале:
\[ \boxed{ a \in \left[ \frac{3 - 2 \sqrt{7}}{19}, \quad \frac{3 + 2 \sqrt{7}}{19} \right] } \]
Для каждого такого \( a \), уравнение имеет хотя бы одно решение по \( x \).
Если нужно найти конкретные решения по \( x \), то для каждого конкретного \( a \), входящего в этот интервал, решите квадратное уравнение по стандартной формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
где \( b = a+1 \) и дискриминант \( D = -19a^2 + 6a + 1 \).
Если хотите, я могу помочь найти решения для конкретных значений \( a \).
