Реши
Для решения квадратных уравнений используют формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
где \(a\), \(b\), и \(c\) — коэффициенты уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\), а \(D\) — дискриминант, который вычисляется как:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Рассмотрим каждое уравнение по порядку:
1) \(3x^2 + 5x - 2 = 0\)
\(a=3,\ b=5,\ c=-2\)
Вычисляем дискриминант:
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \]
- Находим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6} \]
- Первый корень:
\[ x_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
- Второй корень:
\[ x_2 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]
Ответ: \(x = \frac{1}{3}\) или \(x = -2\).
2) \(6x^2 + 17x - 3 = 0\)
\(a=6, b=17, c=-3\)
Дискриминант:
\[ D = 17^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 289 + 72 = 361 \]
- Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-17 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 6} = \frac{-17 \pm 19}{12} \]
- Первый корень:
\[ x_1 = \frac{-17 + 19}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
- Второй корень:
\[ x_2 = \frac{-17 - 19}{12} = \frac{-36}{12} = -3 \]
Ответ: \(x = \frac{1}{6}\) или \(x = -3\).
3) \(2x^2 - 9x + 4 = 0\)
\(a=2, b=-9, c=4\)
Дискриминант:
\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 \]
- Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4} \]
- Первый корень:
\[ x_1 = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]
- Второй корень:
\[ x_2 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Ответ: \(x=4\) или \(x= \frac{1}{2}\).
4) \(5x^2 - 3x - 2 = 0\)
\(a=5, b=-3, c=-2\)
Дискриминант:
\[ D= (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 \]
- Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 \pm 7}{10} \]
- Первый корень:
\[ x_1 = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]
- Второй корень:
\[ x_2 = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} \]
Ответ: \(x=1\) или \(x=-\frac{2}{5}\).
5) \(5x^2 + 6x -8 = 0\)
\(a=5, b=6, c=-8\)
Дискриминант:
\[ D= 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196 \]
- Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm 14}{10} \]
- Первый корень:
\[ x_1 = \frac{-6 + 14}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
- Второй корень:
\[ x_2= \frac{-6 - 14}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \]
Ответ: \(x= \frac{4}{5}\) или \(x = -2\).
6) \(2x^2 + 5x + 2= 0\)
\(a=2, b=5, c=2\)
Дискриминант:
\[ D= 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \]
- Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4} \]
- Первый корень:
\[ x_1= \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
- Второй корень:
\[ x_2= \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]
Ответ: \(x= -\frac{1}{2}\) или \(x= -2\).
Если нужно разобрать подробнее любой из шагов или объяснить, что такое дискриминант, — скажи!
