решить

Давайте решим задачу по математике, которая у вас указана:

Задача:
В уравнении \( x = 1 + \sqrt{x + 11} \) переменная равна ...

Нам нужно найти значение \(x\).

Решение:

1. Запишем уравнение:
   \[ x = 1 + \sqrt{x + 11} \]

2. Изолируем радикал:
   Чтобы избавиться от корня, вычтем 1 из обеих частей уравнения:
   \[ x - 1 = \sqrt{x + 11} \]

3. Возьмем квадрат обеих частей уравнения:
   Чтобы устранить корень, возьмем квадрат обеих частей:
   \[ (x - 1)^2 = (\sqrt{x + 11})^2 \]

   Тогда получим:
   \[ (x - 1)^2 = x + 11 \]

4. Раскроем скобки и решим квадратичное уравнение:
   Раскроем квадрат:
   \[ x^2 - 2x + 1 = x + 11 \]

   Перенесем все в одну сторону:
   \[ x^2 - 2x + 1 - x - 11 = 0 \]

   Упростим:
   \[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение:
   Используем формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
   где \(a=1\), \(b=-3\), \(c=-10\).

   Подставим:
   \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \]

   \[ x = \frac{3 \pm 7}{2} \]

   Получаем два варианта:

   • \(\displaystyle x = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
   • \(\displaystyle x = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

6. Проверяем каждое значение в исходном уравнении:

   • Для \(x = 5\):
     \[ 5 \stackrel{?}{=} 1 + \sqrt{5 + 11} = 1 + \sqrt{16} = 1 + 4 = 5 \] Это верное решение.

   • Для \(x = -2\):
     \[ -2 \stackrel{?}{=} 1 + \sqrt{-2 + 11} = 1 + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4 \] Не равно \(-2\); следовательно, это неверное решение в исходном уравнении.

Итог:

Ответ: \(\boxed{x = 5}\)

Это единственное решение уравнения.