Сколько существует различных восьмизначных чисел сумма цифр каждого из которых равна двум

Рассмотрим задачу: сколько существует различных восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна двум. **Шаг 1: Уясним условия задачи** - Число должно быть восьмизначным, то есть первая цифра не равна нулю (от 1 до 9). - Сумма всех цифр числа равна 2. - Все цифры числа — целые числа от 0 до 9. **Шаг 2: Упростим задачу** Пусть цифры числа — \( d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6, d_7, d_8 \). Тогда: \[ d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 + d_7 + d_8 = 2, \] где при этом \( d_1 \neq 0 \) (так как число восьмизначное), а остальные \( d_i \) могут быть от 0 до 9. **Шаг 3: Разделим задачу на два случая** 1. **Первый случай:** \( d_1 \geq 1 \). Тогда подставим \( d_1' = d_1 - 1 \geq 0 \). 2. **Второй случай:** \( d_1 = 0 \). Но в этом случае сумма остальных цифр должна равняться 2. **Обратите внимание:** - В первом случае, сумма остальных остальных — \( 2 - 1 = 1 \), и в них \( d_1' \geq 0 \). - Во втором случае, сумма остальных цифр — 2, и при этом \( d_1 = 0 \). Рассмотрим оба случая отдельно. --- ### **Случай 1: \( d_1 \geq 1 \)** Пусть \( d_1' = d_1 - 1 \geq 0 \): \[ d_1' + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 + d_7 + d_8 = 1, \] где \( d_1' \geq 0 \), а остальные \( d_i \geq 0 \). Количество неотрицательных решений уравнения: \[ x_1 + x_2 + \dots + x_8 = S, \] где \( S = 1 \), равно числу сочетаний с повторениями: \[ {S + n - 1 \choose n - 1} = {1 + 8 - 1 \choose 8 - 1} = {8 \choose 7} = 8. \] Но нужно учитывать, что для числа восьмизначного числа первая цифра не может быть нулём, а у нас в этой ситуации \( d_1' \geq 0 \). Вернее, в случае \( d_1' \), это уже сделано — \( d_1' \geq 0 \), а исходная цифра \( d_1 = d_1' + 1 \geq 1 \). Значит, все найденные решения уже удовлетворяют условию, что первая цифра не равна нулю, так как \( d_1 \geq 1 \). Поэтому, число решений — **8**. --- ### **Случай 2: \( d_1 = 0 \)** Значит: сумма остальных цифр равна 2: \[ d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 + d_7 + d_8 = 2, \] где \( d_2, d_3, ..., d_8 \geq 0 \). Количество решений — число неотрицательных решений уравнения: \[ {2 + 7 - 1 \choose 7 - 1} = {8 \choose 6} = 28. \] --- ### **Общий ответ:** Общее количество подходящих чисел равно сумме решений из двух случаев: \[ 8 + 28 = 36. \] --- ## Итог: **Ответ:** существует **36** восьмизначных чисел**, сумма цифр которых равна двум.