сколько существует различных восьмизначных чисел сумма цифр каждого из которых равна двум

Рассмотрим задачу: сколько существует различных восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна двум.

Шаг 1: Уясним условия задачи

• Число должно быть восьмизначным, то есть первая цифра не равна нулю (от 1 до 9).
• Сумма всех цифр числа равна 2.
• Все цифры числа — целые числа от 0 до 9.

Шаг 2: Упростим задачу
Пусть цифры числа — \( d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6, d_7, d_8 \). Тогда:
\[ d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 + d_7 + d_8 = 2, \] где при этом \( d_1 \neq 0 \) (так как число восьмизначное), а остальные \( d_i \) могут быть от 0 до 9.

Шаг 3: Разделим задачу на два случая

1. Первый случай: \( d_1 \geq 1 \). Тогда подставим \( d_1' = d_1 - 1 \geq 0 \).
2. Второй случай: \( d_1 = 0 \). Но в этом случае сумма остальных цифр должна равняться 2.

Обратите внимание:

• В первом случае, сумма остальных остальных — \( 2 - 1 = 1 \), и в них \( d_1' \geq 0 \).
• Во втором случае, сумма остальных цифр — 2, и при этом \( d_1 = 0 \).

Рассмотрим оба случая отдельно.

Случай 1: \( d_1 \geq 1 \)

Пусть \( d_1' = d_1 - 1 \geq 0 \):

\[ d_1' + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 + d_7 + d_8 = 1, \] где \( d_1' \geq 0 \), а остальные \( d_i \geq 0 \).

Количество неотрицательных решений уравнения:
\[ x_1 + x_2 + \dots + x_8 = S, \] где \( S = 1 \), равно числу сочетаний с повторениями:
\[ {S + n - 1 \choose n - 1} = {1 + 8 - 1 \choose 8 - 1} = {8 \choose 7} = 8. \]

Но нужно учитывать, что для числа восьмизначного числа первая цифра не может быть нулём, а у нас в этой ситуации \( d_1' \geq 0 \).
Вернее, в случае \( d_1' \), это уже сделано — \( d_1' \geq 0 \), а исходная цифра \( d_1 = d_1' + 1 \geq 1 \).
Значит, все найденные решения уже удовлетворяют условию, что первая цифра не равна нулю, так как \( d_1 \geq 1 \).

Поэтому, число решений — 8.

Случай 2: \( d_1 = 0 \)

Значит: сумма остальных цифр равна 2:
\[ d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 + d_7 + d_8 = 2, \] где \( d_2, d_3, ..., d_8 \geq 0 \).

Количество решений — число неотрицательных решений уравнения:
\[ {2 + 7 - 1 \choose 7 - 1} = {8 \choose 6} = 28. \]

Общий ответ:

Общее количество подходящих чисел равно сумме решений из двух случаев:
\[ 8 + 28 = 36. \]

Итог:

Ответ: существует 36 восьмизначных чисел**, сумма цифр которых равна двум.