|х-4|=|1-3х|
Давайте подробно решим уравнение: \(|x - 4| = |1 - 3x|\).
Шаг 1: Разъяснение и общий подход
Модуль (или абсолютная величина) — это расстояние числа от нуля на числовой оси, то есть, он всегда неотрицателен.
Чтобы решить уравнение с модулями, нужно избавиться от модулей, учтя при этом все случаи, когда выражение внутри модуля может быть положительным или отрицательным.
Шаг 2: Разделение на случаи
Иногда проще рассматривать два случая — когда внутренняя часть модуля положительна или отрицательна.
Но здесь у нас равноценное выражение — оба модуля, значит, решений может быть несколько. Вместо этого используем формулу:
\[ |A| = |B| \Rightarrow \text{оба выражения внутри модулей равны по абсолютной величине} \quad \Rightarrow \] или \[ A = B \quad \text{или} \quad A = -B \] где \(A = x - 4\), \(B = 1 - 3x\).
Это классический подход: при равенстве модулей можно составить два уравнения:
- \(x - 4 = 1 - 3x\)
- \(x - 4 = -(1 - 3x)\)
Шаг 3: Решение первого уравнения
\[ x - 4 = 1 - 3x \]
Переносим все с \(x\) в одну сторону:
\[ x + 3x = 1 + 4 \] \[ 4x = 5 \] \[ x = \frac{5}{4} = 1.25 \]
Проверка: подставим в исходное уравнение:
\[ |1.25 - 4| = |-2.75| = 2.75 \] и \[ |1 - 3 \times 1.25| = |1 - 3.75| = |-2.75| = 2.75 \]
Оба равны, значит, это решение подходит.
Шаг 4: Решение второго уравнения
\[ x - 4 = - (1 - 3x) \] \[ x - 4 = -1 + 3x \]
Переносим
\[ x - 3x = -1 + 4 \] \[ -2x = 3 \] \[ x = -\frac{3}{2} = -1.5 \]
Проверка:
\[ |-1.5 - 4| = |-5.5| = 5.5 \] и
\[ |1 - 3 \times (-1.5)| = |1 + 4.5| = |5.5| = 5.5 \]
Также подходит.
Итог:
Решения уравнения:
\[ \boxed{ x = \frac{5}{4} \quad \text{или} \quad x = -\frac{3}{2} } \]
Если нужно — я могу дополнительно предоставить график или пояснить каждое действие.
