14x²-5x-1=0 решить уравнение

Задача: 14x² - 5x - 1 = 0

Решение с пошаговыми объяснениями (расклад по методам)

1. Метод факторинга (разложение среднего члена)

• Найдем такие два числа, произведение которых равно a·c = 14·(-1) = -14, а сумма равна b = -5.
• Эти числа: -7 и 2 (потому что -7 + 2 = -5, и (-7)·2 = -14).
• Перепишем средний член: 14x² - 7x + 2x - 1 = 0.
• Разобъём на две скобки: 7x(2x - 1) + 1(2x - 1) = (7x + 1)(2x - 1) = 0.
• Корни: 7x + 1 = 0 или 2x - 1 = 0.
  • x = -1/7
  • x = 1/2

2. Проверка

• Подстановка x = 1/2: 14(1/4) - 5(1/2) - 1 = 3.5 - 2.5 - 1 = 0.
• Подстановка x = -1/7: 14(1/49) - 5(-1/7) - 1 = 14/49 + 5/7 - 1 = 2/7 + 5/7 - 1 = 0.

3. Альтернатива: формула квадратного уравнения

• A = 14, B = -5, C = -1
• Δ = B² - 4AC = (-5)² - 4·14·(-1) = 25 + 56 = 81
• x = [-B ± √Δ] / (2A) = [5 ± 9] / 28
  • x1 = (5 + 9) / 28 = 14/28 = 1/2
  • x2 = (5 - 9) / 28 = -4/28 = -1/7

Итог: корни уравнения x = 1/2 и x = -1/7.