Cos3x-2sinxcosx=0

Рассмотрим задачу cos(3x) − 2 sin(x) cos(x) = 0. 1) Применим тождества 2 sin(x) cos(x) = sin(2x). Тогда уравнение превращается в cos(3x) − sin(2x) = 0, то есть cos(3x) = sin(2x). 2) Выразим синус через косинус: sin(2x) = cos(π/2 − 2x). Получаем: cos(3x) = cos(π/2 − 2x). 3) Решаем уравнение cos A = cos B, где A = 3x, B = π/2 − 2x. Это дает две ветви: - Ветвь 1: 3x = π/2 − 2x + 2kπ ⇒ 5x = π/2 + 2kπ ⇒ x = π/10 + (2/5)kπ - Ветвь 2: 3x = −(π/2 − 2x) + 2kπ ⇒ 3x = −π/2 + 2x + 2kπ ⇒ x = −π/2 + 2kπ Итак, все решения уравнения (в общем виде) представлены двумя бесконечными арифметическими прогрессиями: - x = π/10 + (2π/5)k, где k ∈ Z - x = −π/2 + 2πk, где k ∈ Z Если удобнее в градусах, можно записать аналогично: - x = 18° + 72°k, k ∈ Z - x = −90° + 360°k, k ∈ Z Проверка примеров: - Пусть x = π/2. Тогда cos(3x) = cos(3π/2) = 0, sin(2x) = sin(π) = 0, значит cos(3x) − sin(2x) = 0. Это входит в обе ветви (в частности в первую при подходящем k). - Пусть x = π/10. Тогда cos(3x) = cos(3π/10), sin(2x) = sin(π/5); по расчету обе стороны равны, поэтому это тоже решение. Задача решена: решения даны двумя бесконечными прогрессиями для общего случая.