Cos3x-sinx=√3(cosx-sin3x)

Задача: cos 3x − sin x = √3 (cos x − sin 3x) Цель: Понять, как решить подробно с объяснениями. Пошаговое решение 1) Перепишем уравнение в удобной форме cos 3x − sin x − √3 cos x + √3 sin 3x = 0 группируем по углу 3x и по углу x: ( cos 3x + √3 sin 3x ) + ( − sin x − √3 cos x ) = 0 2) Применим сочетания через амплитуды - Для выражения cos 3x + √3 sin 3x можно записать как R cos(3x − φ): R = sqrt(1^2 + (√3)^2) = sqrt(1 + 3) = 2 φ = arctan(√3 / 1) = π/3 значит cos 3x + √3 sin 3x = 2 cos(3x − π/3). - Для выражения sin x + √3 cos x можно записать как R sin(x + φ): R = sqrt(1^2 + (√3)^2) = 2 φ = arctan(√3 / 1) = π/3 значит sin x + √3 cos x = 2 sin(x + π/3). Следовательно, − sin x − √3 cos x = −2 sin(x + π/3). И уравнение становится: 2 cos(3x − π/3) − 2 sin(x + π/3) = 0 или cos(3x − π/3) = sin(x + π/3). 3) Приведём синус к косинусу sin(x + π/3) = cos(π/2 − (x + π/3)) = cos(−x + π/6) = cos(x − π/6) (косинус чётный: cos(−t) = cos t). Тогда cos(3x − π/3) = cos(x − π/6). 4) Решим уравнение cos A = cos B Для cos A = cos B верно A = B + 2kπ или A = −B + 2kπ, где k ∈ Z. Пусть A = 3x − π/3, B = x − π/6. - Случай 1: 3x − π/3 = x − π/6 + 2kπ 2x = π/6 + 2kπ x = π/12 + kπ - Случай 2: 3x − π/3 = −(x − π/6) + 2kπ = −x + π/6 + 2kπ 4x = π/2 + 2kπ x = π/8 + kπ/2 Итак, общие решения: x ∈ { π/12 + kπ, π/8 + kπ/2 | k ∈ Z }. Проверка (пример) - Пусть x = π/12. Тогда 3x = π/4, sin 3x = √2/2, sin x = sin(π/12). Легко проверить, что обе стороны равны. - Пусть x = π/8. Тогда x и 3x равны 22.5° и 67.5°, соответственно; можно проверить, что обе части равны нулю. Дополнительная примечание - В пределах от 0 до 2π решения примерно: π/12, 13π/12, π/8, 5π/8, 9π/8, 13π/8. - Но в общем виде запись через k ∈ Z даёт полный набор решений.