Sin(π/2+3x)-sin(π-5x)=√3(cos5x-sin3x)

Разберем задачу по шагам и получим все решения для x. Задача: sin(π/2 + 3x) - sin(π - 5x) = √3 (cos 5x - sin 3x) 1) Упростим синусы-тригонометрии: - sin(π/2 + 3x) = cos(3x) - sin(π - 5x) = sin(5x) Итак, левая часть равна cos(3x) - sin(5x). Правая часть остается: √3 (cos(5x) - sin(3x)). Итого уравнение перепишем как: cos(3x) - sin(5x) = √3 cos(5x) - √3 sin(3x) 2) Переместим все в одну сторону: cos(3x) - sin(5x) - √3 cos(5x) + √3 sin(3x) = 0 Перегруппируем по одинаковым тригонометрическим функциям: (cos(3x) + √3 sin(3x)) - (sin(5x) + √3 cos(5x)) = 0 3) Применим удобные идентичности для сочетаний sin и cos одного и того же аргумента: - cos θ + √3 sin θ = 2 sin(θ + π/6) (потому что 2 sin(θ + π/6) = 2 [sin θ cos(π/6) + cos θ sin(π/6)] = 2 [sin θ · √3/2 + cos θ · 1/2] = cos θ + √3 sin θ) - sin θ + √3 cos θ = 2 sin(θ + π/3) (потому что 2 sin(θ + π/3) = 2 [sin θ cos(π/3) + cos θ sin(π/3)] = 2 [sin θ · 1/2 + cos θ · √3/2] = sin θ + √3 cos θ) Применяем к нашим скобкам (θ = 3x и θ = 5x): cos(3x) + √3 sin(3x) = 2 sin(3x + π/6) sin(5x) + √3 cos(5x) = 2 sin(5x + π/3) Тогда наше уравнение принимает вид: 2 sin(3x + π/6) - 2 sin(5x + π/3) = 0 Упростим, разделив на 2: sin(3x + π/6) = sin(5x + π/3) 4) Решаем уравнение sin A = sin B. Общее решение: A = B + 2kπ или A = π - B + 2kπ, где k ∈ Z. Пусть A = 3x + π/6, B = 5x + π/3. - Условия 1) 3x + π/6 = 5x + π/3 + 2kπ -2x = π/3 - π/6 + 2kπ = π/6 + 2kπ x = -π/12 - kπ Можно переписать как x = -π/12 + mπ, m ∈ Z. - Условия 2) 3x + π/6 = π - (5x + π/3) + 2kπ 3x + π/6 = 2π/3 - 5x + 2kπ 8x = 2π/3 - π/6 + 2kπ = π/2 + 2kπ x = π/16 + kπ/4 5) Итог решения Все решения x задаются двумя рядами: - x = -π/12 + mπ, m ∈ Z - x = π/16 + mπ/4, m ∈ Z Проверка: для примера x = 0 левая часть равна 1, правая примерно 1.732, т.е. не равны в общем случае — что подтверждает, что это не тождественное равенство, а конкретное уравнение, чьи корни и указаны выше.