1-cos6x=tg3x

Задача: 1 - cos(6x) = tan(3x)

Цель: понять и получить полный разбор.

Шаг 1. Ограничения по определённости

• Тангенс определён там, где косинус не равен нулю: cos(3x) ≠ 0.
• В дальнейшем решение проверим на этот момент.

Шаг 2. Применим тригонометрическую идентичность 1 - cos(6x) можно переписать через sin^2: -cos(6x) = 1 - 2 sin^2(3x), поэтому 1 - cos(6x) = 2 sin^2(3x).

Тогда уравнение становится: 2 sin^2(3x) = tan(3x).

Шаг 3. Упростим, избавившись от тангенса Перемножим обе стороны на cos(3x) (помня, что cos(3x) ≠ 0 из условия определения tan): 2 sin^2(3x) cos(3x) = sin(3x).

Переместим все в одну сторону и вынесем общий множитель sin(3x): sin(3x) [ 2 sin(3x) cos(3x) - 1 ] = 0.

Шаг 4. Решаем произведение = 0 Получаем два множителя, каждый из которых может дать решение.

1. sin(3x) = 0 -3x = kπ → x = kπ/3, где k ∈ Z.

2. 2 sin(3x) cos(3x) - 1 = 0 -2 sin(3x) cos(3x) = -1 → 2 sin(3x) cos(3x) = 1. Но 2 sin(3x) cos(3x) = sin(6x), поэтому sin(6x) = 1.

-6x = π/2 + 2πk → 3x = π/4 + πk → x = π/12 + πk/3, где k ∈ Z.

Шаг 5. Проверка ограничений

• В первой ветви x = kπ/3: cos(3x) = cos(kπ) = ±1 ≠ 0, удовлетворяет условию определения tan.
• Во второй ветви x = π/12 + πk/3: 3x = π/4 + πk, cos(3x) = cos(π/4 + πk) = (±√2)/2 ≠ 0, тоже удовлетворяет условию.

Шаг 6. Ответ Общие решения:

• x = kπ/3, k ∈ Z
• или x = π/12 + kπ/3, k ∈ Z

Проверка примерами:

• Пусть x = 0: левая часть 1 - cos(0) = 0, правая tan(0) = 0 — подходит.
• Пусть x = π/12: 1 - cos(6·π/12) = 1 - cos(π/2) = 1; tan(3·π/12) = tan(π/4) = 1 — подходит.

Если нужно, могу привести дополнительные проверки или графическую иллюстрацию решений.