Теорема Виета

Ниже подробное объяснение теоремы Виета для квадратного уравнения с шагами и примерами. Это подходит для 8 класса и цели «Понять». 1) Что говорит теорема Виета для квадратного уравнения - Рассматриваем квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. - Пусть его корни (solutions) обозначим как α и β. - Тогда сумма корней и их произведение связаны с коэффициентами так: - α + β = −b / a - αβ = c / a 2) Как это выводится (пошагово) - Так как α и β — корни, их можно записать через скобки: (x − α)(x − β) = 0. - Раскроем скобки: x^2 − (α + β)x + αβ = 0. - Это эквивалентно квадратному уравнению, если привести к общему знаменателю и ко всем коэффициентам: ax^2 + bx + c = 0. - Сопоставляя коэффициенты, получаем: - коэффициент при x: −(α + β) = b / a → α + β = −b / a - свободный член: αβ = c / a - Если возьмём упрощённый моннадик вариант без a (то есть a = 1): x^2 + bx + c = 0 имеет корни α и β, и тогда: - α + β = −b - αβ = c 3) Как пользоваться теоремой на практике - Если известны сумма S = α + β и произведение P = αβ корней квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, можно записать квадратное уравнение так: - a не обязательно равно 1, но удобно начать с моногенного варианта: x^2 − Sx + P = 0, потом умножить на a при необходимости. - Общий вид с теми же корнями будет: ax^2 − aSx + aP = 0. - Решение по дискриминанту: если нужно найти сами корни, используем формулу - α, β = (S ± sqrt(S^2 − 4P)) / 2 - Это эквивалентно общему решению ax^2 + bx + c = 0 через S = −b/a и P = c/a. 4) Примеры Пример 1. Простое уравнение с a = 1 - Уравнение: x^2 − 5x + 6 = 0 - Сумма корней S = −(−5) = 5 - Произведение корней P = 6 - Дискриминант D = S^2 − 4P = 25 − 24 = 1 - Корни: x = (5 ± sqrt(1)) / 2 → x = 2 и x = 3 - Проверка: 2 + 3 = 5, 2·3 = 6, правильность. Пример 2. Уравнение с данными суммой и произведением - Пусть сумма корней S = 7, произведение P = 10. - Составим «мономическое» уравнение: x^2 − 7x + 10 = 0. - Дискриминант D = 49 − 40 = 9; корни: x = (7 ± 3) / 2 → x = 5 и x = 2. - Проверка: 5 + 2 = 7, 5·2 = 10, всё верно. Пример 3. Уравнение с произвольным коэффициентом a - Рассмотрим 2x^2 − 5x + 3 = 0. - По формулам: S = −(−5)/2 = 5/2, P = 3/2. - Дискриминант D = S^2 − 4P = (25/4) − 6 = (25 − 24)/4 = 1/4. - Корни: x = (S ± sqrt(D)) / 2 = (5/2 ± 1/2) / 2 → x = (6/2)/2 = 3/2 и x = (4/2)/2 = 1. - Проверка: сумма 3/2 + 1 = 5/2, произведение 3/2, что соответствует коэффициентам. 5) Быстрые выводы и практическое применение - Теорема Виета удобна, когда не обязательно находить сами корни, а нужно знать их сумма и произведение. - Если знаете S и P, можно сразу построить подходящее квадратное уравнение: x^2 − Sx + P = 0 (для a = 1) или ax^2 − aSx + aP = 0 (для произвольного a). - Если дискриминант D = S^2 − 4P < 0, корни комплексные; в базовом курсе 8 класса обычно рассматривают только вещественные корни, но формула всё равно работает. 6) Короткое задание для закрепления (по желанию) - Найдите уравнение с корнями α и β, если их сумма 8, произведение 15. Запишите уравнение и найдите сами корни. - Найдите корни уравнения 3x^2 − 12x + 9 = 0 и проверьте через Виета: S и P, затем решите. Если хочешь, могу привести ещё примеры или задать тебе задачи на применение теоремы Виета в разных вариантах (с различными коэффициентами и с дискриминантом).