Найти экстремумы функции f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+17

Для нахождения экстремумов функции, необходимо вычислить её производную и найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17

Найдем производную f'(x):

f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

12x^3 + 12x^2 - 24x = 0

Вынесем общий множитель:

12x(x^2 + x - 2) = 0

Теперь решим полученное уравнение:

12x = 0 => x = 0

или

x^2 + x - 2 = 0

Разложим второе уравнение на множители:

(x + 2)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем следующие значения x, в которых производная равна нулю:

x = 0, x = -2, x = 1

Теперь проанализируем производную f'(x) в интервалах между найденными значениями x и на краях интервалов:

При x < -2, f'(x) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.

При -2 < x < 0, f'(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

При 0 < x < 1, f'(x) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.

При x > 1, f'(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, получаем экстремальные точки функции f(x) в значениях x:

x = -2 (минимум), x = 1 (максимум).

Ответ: минимум функции f(x) равен f(-2), а максимум равен f(1).